Elektrosztatika példák - Síkkondenzátor, munkavégzés

Feladat

1. Egy síkkondenzátor $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű fegyverzeti egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra vannak. A fegyverzetek közötti teret egy $\setbox0\hbox{$\epsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív dielektromos állandójú szigetelő tölti ki. Mennyi munkát végzünk, amikor teljesen kihúzzuk a lemezet a kondenzátor fegyverzeti közül, ha
   a) a lemezek $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltése állandó?
   b) a lemezek közti $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültség állandó?
   

Megoldás

A kondenzátor kapacitása a szigetelővel:

$\[C_1 = \frac{A\epsilon_0\epsilon}{d}\]$

Amíg szigetelő nélkül:

$\[C_2 = \frac{A\epsilon_0}{d}\]$

A kondenzátoron végzett munka mindkét esetben a kondenzátor energiájának megváltozásával lesz egyenlő.
a,Mivel a kondenzátor töltése állandó, ezért az energiakülönbséget a következőképpen írhatjuk fel:

$\[\Delta E = \frac{1}{2} Q^2\cdot\left(\frac{1}{C_2}-\frac{1}{C_1}\right) = \frac{Q^2 d}{2 A \epsilon_0}\cdot\left(1-\frac{1}{\epsilon}\right) \]$

Ami megegyezik a kondenzátoron végzett munkával.

b,Mivel a kondenzátor fegyverzetei között lévő feszültség állandó, ezért az energiakülönbséget a következőképpen írhatjuk fel:

$\[\Delta E = \frac{1}{2} U^2\cdot\left(C_2-C_1\right) = \frac{U^2 A \epsilon_0}{2 d }\cdot\left(\epsilon-1\right) \]$

Ami megegyezik a kondenzátoron végzett munkával.