Elektrosztatika példák - Fémlappal töltött síkkondenzátor

Feladat

1. Ideális síkkondenzátor fegyverzetei egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra vannak. A kondenzátor beljesében a térerősség $\setbox0\hbox{$E_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   a) Hányszorosára változik meg a kondenzátor kapacitása, ha a fegyverzetekkel párhuzamosan egy $\setbox0\hbox{$\delta d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú fémlemezt helyezünk a kondenzátor belsejébe?
   b) Rajzolja fel a térerősséget, mint a fegyverzettől mért távolság függvényét, ha a fémlemezt a baloldali fegyverzettől $\setbox0\hbox{$d_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra van.
   c) Rajzolja fel a potenciál változását a hely függvényében az előző összeállításnál! Mekkora a fegyverzetek közötti feszültség?
   d) Milyen vastag a szigetelőlemez hatására változik a síkkondenzátor kapacitása ugyanannyiszorosára, mint a fémlemez esetében, ha $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adott?

Megoldás

A fémben a térerősség értéke zérus, ezért a lemezek közötti potenciál a következő lesz:

$\[U = E_0\cdot\left(d-\delta d\right)\]$

a, Mivel a fegyverzeteken lévő töltés mennyisége nem változik meg, ezért a kapacitás megváltozása:

$\[\frac{C_1}{C_0} = \frac{\frac{Q}{U_1}}{\frac{Q}{U_0}} = \frac{U_0}{U_1} = \frac{d}{d-\delta d}\]$

b, A térerősség a kondenzátorban konstans $\setbox0\hbox{$E_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kivéve a fémben, ahol zérus.

c, A pontenciál a fegyverzetek között lineárisan növekszik, kivéve a fémben, ahol konstans értéket vesz fel.

d, A szigetelő lemez vastagsága legyen:$\setbox0\hbox{$\delta d_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A szigetelő lemezben a tér lecsökken, nagysága $\setbox0\hbox{$\frac{E_0}{\epsilon_r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz. Ezért a lemezek közötti potenciálkülönbség értéke:

$\[U_2 = E_0\cdot\left(d-\delta d_2+\frac{\delta d_2}{\epsilon_r}\right)\]$

Mivel a fegyverzeteken a töltés mind a két esetben állandó, ezért a két elrendezés kapacitása akkor fog megegyezni, ha lemezek közötti potenciálkülönbség megegyezik. Vagyis, ha:

$\[U_2 = U_1\]$

$\[E_0\cdot\left(d-\delta d_2+\frac{\delta d_2}{\epsilon_r}\right) = E_0\cdot\left(d-\delta d\right)\]$

Amiből kifejezhető a szükséges vastagság:

$\[\delta d_2 = \frac{\delta d}{1-\frac{1}{\epsilon_r}}\]$