Elektrosztatika példák - Különböző vezetőképességű anyagok határfelületén az átfolyó áram hatására kialakuló felületi töltéssűrűség. forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Vezetőképesség, áramsűrűség
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy síkkondenzátor fegyverzetek közötti terét két vezető lemezzel töltjük ki. A lemezek egymással és a kondenzátor lemezeivel teljes felületükön érintkeznek. A lemezek vastagsága $h_1$ és $h_2$, vezetőképességük és dielektromos állandójuk $\sigma_1$,$\sigma_2$, illetve $\epsilon_1$ $\epsilon_2$. A kondenzátorlemezek (melyek $\sigma_1$-nél és $\sigma_2$-nél jóval nagyobb vezetőképességű anyagból készültek) között adott a potenciálkülönbség: $\Delta U$. Határozzuk meg az elektromos tér, valamint az elektromos eltolás nagyságát! Határozzuk meg az áramsűrűség nagyságát a közegekben, továbbá a stacionárius áramok hatására kialakuló felületi töltéssűrűséget!  A síkkondenzátot ideálisnak tételezzük fel, azaz a szélein kialakuló szórt tértől tekintsünk el![[Kép:KFGY2-5-4.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$D_2 A-D_1 A =\omega A \rightarrow \omega = D_2-D_1 = \frac{\Delta U\epsilon_0\cdot \left(\epsilon_2\sigma_1-\epsilon_1\sigma_2\right)}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2} $$.}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
A kontinuitási tétel miatt:
$$j_1 = j_2 = j$$
Mindkét közegben érvényes a differenciális Ohm-törvény:
$$E_1 = \frac{j}{\sigma_1}$$
$$E_2 = \frac{j}{\sigma_2}$$

A lemezek közötti potenciálkülönbség pedig:
$$\Delta U = E_1 h_1 +E_2 h_2 = j \Big( \frac{h_1}{\sigma_1} + \frac{h_2}{\sigma_2} \Big)$$

Ebből kifejezve az áramsűrűséget kapjuk, hogy
$$j = \frac{\Delta U \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$
Innen a térerősségek:
$$E_1 = \frac{\Delta U \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$
$$E_2 = \frac{\Delta U \sigma_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$

Az elektromos eltolások pedig a két közegben:
$$D_1 = \epsilon_0 \epsilon_1 E_1  = \frac{\Delta U \sigma_2 \epsilon_0\epsilon_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$

$$D_2 = \epsilon_0 \epsilon_2 E_2  = \frac{\Delta U \sigma_1 \epsilon_0\epsilon_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$

A határfelületen felhalmozódott töltést pedig a Gauss-tételből lehet kiszámolni
$$ \iint \vec{D} \vec{dA} = Q$$,
ahol a Gauss felület egy olyan téglatest, amely a határfelületet zárja be és csak a határfelülettel párhuzamos és rá merőleges oldallapjai vannak.
$$D_2 A-D_1 A =\omega A \rightarrow \omega = D_2-D_1 = \frac{\Delta U \epsilon_0\cdot \left(\epsilon_2\sigma_1-\epsilon_1\sigma_2\right)}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2} $$
</wlatex>
</noinclude>