Elektrosztatika példák - Különböző vezetőképességű anyagok határfelületén az átfolyó áram hatására kialakuló felületi töltéssűrűség.

Feladat

1. Egy síkkondenzátor fegyverzetek közötti terét két vezető lemezzel töltjük ki. A lemezek egymással és a kondenzátor lemezeivel teljes felületükön érintkeznek. A lemezek vastagsága $\setbox0\hbox{$h_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$h_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, vezetőképességük és dielektromos állandójuk $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve $\setbox0\hbox{$\epsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$\epsilon_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kondenzátorlemezek (melyek $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél és $\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél jóval nagyobb vezetőképességű anyagból készültek) között adott a potenciálkülönbség: $\setbox0\hbox{$\Delta U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg az elektromos tér, valamint az elektromos eltolás nagyságát! Határozzuk meg az áramsűrűség nagyságát a közegekben, továbbá a stacionárius áramok hatására kialakuló felületi töltéssűrűséget! A síkkondenzátort ideálisnak tételezzük fel, azaz a szélein kialakuló szórt tértől tekintsünk el!
   

Megoldás

A kontinuitási tétel miatt:

$\[j_1 = j_2 = j\]$

Mindkét közegben érvényes a differenciális Ohm-törvény:

$\[E_1 = \frac{j}{\sigma_1}\]$

$\[E_2 = \frac{j}{\sigma_2}\]$

A lemezek közötti potenciálkülönbség pedig:

$\[\Delta U = E_1 h_1 +E_2 h_2 = j \Big( \frac{h_1}{\sigma_1} + \frac{h_2}{\sigma_2} \Big)\]$

Ebből kifejezve az áramsűrűséget kapjuk, hogy

$\[j = \frac{\Delta U \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]$

Innen a térerősségek:

$\[E_1 = \frac{\Delta U \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]$

$\[E_2 = \frac{\Delta U \sigma_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]$

Az elektromos eltolások pedig a két közegben:

$\[D_1 = \epsilon_0 \epsilon_1 E_1 = \frac{\Delta U \sigma_2 \epsilon_0\epsilon_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]$

$\[D_2 = \epsilon_0 \epsilon_2 E_2 = \frac{\Delta U \sigma_1 \epsilon_0\epsilon_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]$

A határfelületen felhalmozódott töltést pedig a Gauss-tételből lehet kiszámolni

$\[ \iint \vec{D} \vec{dA} = Q\]$

,

ahol a Gauss felület egy olyan téglatest, amely a határfelületet zárja be és csak a határfelülettel párhuzamos és rá merőleges oldallapjai vannak.

$\[D_2 A-D_1 A =\omega A \rightarrow \omega = D_2-D_1 = \frac{\Delta U \epsilon_0\cdot \left(\epsilon_2\sigma_1-\epsilon_1\sigma_2\right)}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2} \]$