Termodinamika példák - Gáz szökése forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| gyaksorszám = 1
| példasorszám = 1
| témakör     = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
| előző   = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
| következő   = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
| előzőpélda = Termodinamika példák - Diffúzió és belső súrlódás
| következőpélda = Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># $V$ térfogatú, vékonyfalú tartályban ideális gáz van, az edényt légüres tér veszi körül.</wlatex>
#* <wlatex>a) Hogyan változik az idő függvényében az edényben lévő gáz $N$ részecskeszáma, ha a tartály falán igen kicsi, $A$ területű lyuk van?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$N(t)=n_0\exp\{-t/\tau\},$$ ahol $N_0$ a kezdeti részecskeszám-sűrűség, $\tau=\frac{4V}{A\langle v\rangle}$.}}</wlatex></includeonly>
#* <wlatex>b) Határozzuk meg azt az időtartamot, amely alatt a gáz nyomása felére csökken!
: Feltesszük, hogy a gáz kiáramlása lassú, így a gáz egyensúlyi állapotát a folyamat nem zavarja, továbbá a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a szabad úthossz, tehát a lyuk területére is érvényes az az összefüggés, hogy az edény falának időegység alatt nekiütköző molekulák szána $\frac{1}{4}n_V A\langle v\rangle$ ($\langle v\rangle$ a molekulák átlagsebessége). A hőmérséklet mindvégig $T$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\tau_{1/2}=\tau \ln 2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>Amikor a gáz kis lyukon keresztül szökik a tartályból, feltehetjük, hogy végig egyensúlyi állapotban marad. A lyukon keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor az edény falának egységnyi felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk. Mivel a molekulák száma időben változik, ezért differenciálegyenletet kapunk a tartályban lévő molekulák időfüggő $n_V(t)=N(t)/V$ sűrűségére:
$$-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=V\frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm dt}=-\frac14 n_V A \langle v \rangle.$$
A kapott differenciálegyenlet a változók szétválasztással megoldható:
$$-\frac{\mathrm{d}n_V}{n_V}=-\frac{A \langle v \rangle}{4V}\,\mathrm{d}t,$$
$$\ln \frac{n_V}{n_{V0}}=-\frac{t}{\tau},$$
ahol $\displaystyle \tau=\frac{A \langle v \rangle}{4V}$ a folyamat karakterisztikus ideje.

* (a) A tartályban lévő molekulák száma az idő függvényében: <!--
--> $$N(t)=V n_V(t)=n_{V0}\exp\left\{-\frac{t}{\tau}\right\}$$
* (b) A molekulák számának felezési idejét
$$ n_V\left(t_{1/2}\right) = \frac{n_{V0}}{2} $$
egyenletből számítjuk ki:
$$  t_{1/2} = \tau \ln 2.$$
</wlatex>
</noinclude>