Termodinamika példák - Gáz szökése

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatú, vékonyfalú tartályban ideális gáz van, az edényt légüres tér veszi körül. Feltesszük, hogy a gáz kiáramlása lassú, így a gáz egyensúlyi állapotát a folyamat nem zavarja, továbbá a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a szabad úthossz, tehát a lyuk területére is érvényes az az összefüggés, hogy az edény falának időegység alatt nekiütköző molekulák száma \setbox0\hbox{$\frac{1}{4}n_V A\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a molekulák átlagsebessége. A hőmérséklet mindvégig \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    • a) Hogyan változik az idő függvényében az edényben lévő gáz \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% részecskeszáma, ha a tartály falán igen kicsi, \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% területű lyuk van?
    • b) Határozzuk meg azt az időtartamot, amely alatt a gáz nyomása felére csökken!

Megoldás

Amikor a gáz kis lyukon keresztül szökik a tartályból, feltehetjük, hogy végig egyensúlyi állapotban marad. A lyukon keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor az edény falának egységnyi felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk. Mivel a molekulák száma időben változik, ezért differenciálegyenletet kapunk a tartályban lévő molekulák időfüggő \setbox0\hbox{$n_V(t)=N(t)/V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sűrűségére:

\[-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=V\frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm dt}=-\frac14 n_V A \langle v \rangle.\]

A kapott differenciálegyenlet a változók szétválasztással megoldható:

\[-\frac{\mathrm{d}n_V}{n_V}=-\frac{A \langle v \rangle}{4V}\,\mathrm{d}t,\]
\[\ln \frac{n_V}{n_{V0}}=-\frac{t}{\tau},\]

ahol \setbox0\hbox{$\displaystyle \tau=\frac{A \langle v \rangle}{4V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a folyamat karakterisztikus ideje.

a) A tartályban lévő molekulák száma az idő függvényében

\[N(t)=V n_V(t)=n_{V0}\exp\left\{-\frac{t}{\tau}\right\}.\]

b) A molekulák számának felezési idejét

\[ n_V\left(t_{1/2}\right) = \frac{n_{V0}}{2} \]

egyenletből számítjuk ki:

\[  t_{1/2} = \tau \ln 2.\]