Termodinamika - Homogén rendszerek

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Mérhető mennyiségek

\setbox0\hbox{$\displaystyle C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = \setbox0\hbox{$\displaystyle \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó térfogaton mért hőkapacitás*
\setbox0\hbox{$\displaystyle C_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = \setbox0\hbox{$\displaystyle \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó nyomáson mért hőkapacitás*
\setbox0\hbox{$\displaystyle \beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = \setbox0\hbox{$\displaystyle \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% izobár hőtágulási együttható
\setbox0\hbox{$\displaystyle \kappa_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = \setbox0\hbox{$\displaystyle -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% izoterm kompresszibilitás
\setbox0\hbox{$\displaystyle \kappa_S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = \setbox0\hbox{$\displaystyle -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adiabatikus kompresszibilitás

* ha egységnyi tömegre illetve anyagmennyiségre vonatkoztatjuk, akkor rendre fajhőnek illetve mólhőnek nevezzük.

Feladatok

  1. Bizonyítsuk be a \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggéseket!
  2. Bizonyítsuk be a \setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Maxwell-összefüggést!
  3. Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a \setbox0\hbox{$\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – \setbox0\hbox{$X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intenzív- és \setbox0\hbox{$\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a \setbox0\hbox{$p\to-X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$V\to\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változócserét!
  4. Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során \setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy \setbox0\hbox{$4 \,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!
  5. Feltételezve, hogy \setbox0\hbox{$S=S(p,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, mutassuk ki, hogy \setbox0\hbox{$T\,\mathrm{d}S=n C_p\,\mathrm{d}T-\beta_p TV\,\mathrm{d}p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az izobár hőtágulási együttható.
  6. Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az \setbox0\hbox{$U(S, V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható \setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényeként!
  7. Mennyivel változik egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű, \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű, \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatú rendszer entrópiája, ha térfogata állandó nyomáson \setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékkel megnő? Az állandó nyomáson mért \setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhőt és a \setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőtágulási együtthatót ismertnek tekintjük.
  8. Egy rendszer állapotegyenlete \setbox0\hbox{$pV=A(T)+B(T)\,p+C(T)\,p^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol a hőmérsékletfüggő együtthatók kísérletekből ismertek. Mennyit változik a rendszer szabad entalpiája és entrópiája, ha a nyomást rögzített \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten \setbox0\hbox{$p_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ról \setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re változtatjuk?
  9. Egy gumiszalag állapotegyenlete \setbox0\hbox{$f=aT\left({\textstyle \frac{\ell}{\ell_0}}-{\left({\textstyle \frac{\ell_0}{\ell}}\right)}^2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakba írható, ahol \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szalagban fellépő húzóerő nagysága, \setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szalag hossza, \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a hőmérséklet, \setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szalag erőmentes hossza, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pozitív állandó.
    • a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!
    • b) Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
    • c) Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban \setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ról \setbox0\hbox{$2\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra növeljük.
    • d) Igazoljuk, hogy a gumiszalag hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!
  10. Mennyi hő szabadul fel az \setbox0\hbox{$\varepsilon_r(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.