Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel

Ismert összefüggések

A termodinamika I. főtétele

$\[ \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rendszer belső energiájának megváltozása, $\setbox0\hbox{$\delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rendszer által felvett hő, $\setbox0\hbox{$\delta W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rendszeren a környezet által végzett makroszkopikus munka, például $\setbox0\hbox{$\delta W_\text{mech} = -p\,\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A Van der Waals-gáz állapotegyenlete

$\[ \left(p+n^2\frac{a}{V^2}\right)(V-nb) = nRT, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$p_k = n^2\frac{a}{V^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kohéziós nyomás, $\setbox0\hbox{$V-nb$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tiszta térfogat, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kísérletileg meghatározható állandók.

Mérhető mennyiségek

A tanult $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$C_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\kappa_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\kappa_S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciókat a Homogén rendszerek fejezet elején foglaljuk össze. $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val jelöljük a $\setbox0\hbox{$C_p/C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszonyt.

Feladatok

1. Készítsen vázlatos ábrát ideális gáz
   • a) izochor,
   • b) izobár,
   • c) izoterm és
   • d) adiabatikus

   állapotváltozásáról $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordináta-rendszerekben úgy, hogy a kiindulási állapot minden esetben ugyanaz legyen!

   Megoldás

   
   

2. Ábrázolja vázlatosan ideális gáz
   • a) izochor,
   • b) izobár,
   • c) izoterm és
   • d) adiabatikus

   állapotváltozásánál a belső energiának a hőmérséklettől-, térfogattól- és a nyomástól való függését! Legyen a belső energia az ordináta, és minden folyamatnál legyen ugyanaz a kiindulási állapot!

   Megoldás

   
   

3. Állapítsuk meg, milyen összefüggés van egy ideális gáz által állandó nyomáson végzett $\setbox0\hbox{$\Delta W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munka, a gázzal közölt $\setbox0\hbox{$\Delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmennyiség és a $\setbox0\hbox{$\Delta U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső energia-változás között, ha a $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszony ismert!
   Végeredmény

   $\[\Delta Q = \frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta W = \gamma \Delta U\]$
   Megoldás
   
   
4. Ha egy rendszert az ábrán látható 1 úton viszünk az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotból a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotba, $\setbox0\hbox{$100\,\rm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőt vesz fel, miközben $\setbox0\hbox{$30\,\rm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munkát végez.
   
   • a) Mennyi hőt vesz fel a rendszer az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotok közt a 2 úton, ha közben $\setbox0\hbox{$10\,\rm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munkát végez?
     Végeredmény

     $\[\Delta Q = 80\,\rm{J}\]$
   • b) Ha $\setbox0\hbox{$20\,\rm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munkával vihetjük a rendszert $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ből $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ba a 3 út mentén, mennyi a közben leadott hő?
     Végeredmény

     $\[\Delta Q = 90\,\rm{J}\]$
     Megoldás
     
     
5. Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás $\setbox0\hbox{$\kappa_T=\frac1p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg adiabatikus összenyomásnál $\setbox0\hbox{$\kappa_{\text{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\gamma =\frac{C_p}{C_V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Útmutatás

   Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.
   Végeredmény

   $\[\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}\]$
   Megoldás
   
   
6. A $\setbox0\hbox{$p=p(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\setbox0\hbox{$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiséget a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együttható és a $\setbox0\hbox{$\kappa_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!
   Útmutatás

   Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljes differenciál nulla.
   Végeredmény

   $\[{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}\]$
   Megoldás
   
   
7. Egy $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú szobában befűtünk. A szobában a hőmérséklet eközben állandó légköri nyomáson $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re nő. Mennyivel változik a szobában lévő levegő belső energiája?
   Végeredmény

   Nem változik.
   Megoldás
   
   
8. Egy kezdetben $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszonyú ideális gáz térfogatát $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re növeljük. A folyamatot egyszer adiabatikusan, másodszor pedig izotermikusan hajtjuk végre. Az első és második végállapotban a nyomások aránya $\setbox0\hbox{$2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogat?
   Végeredmény

   $\[V_2=V_1\,2\frac{1}{\gamma-1}\]$
   Megoldás
   
   
9. Van der Waals-gázok belső energiájának térfogatfüggése az alábbi összefüggéssel adható meg:
   $\[ U = c_V mT - \frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V},\]$
   ahol $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gáz tömege, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a móltömeg, $\setbox0\hbox{$c_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az állandó térfogaton mért fajhő, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó.
   Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?
     Végeredmény

     $\[T=\frac{T_1+T_2}{2}\]$
   • b) Hogyan módosul a válasz, ha a gáz betöltése után az elválasztó falat rögtön kivesszük?
     Útmutatás

     Alkalmazzuk az I. főtételt. A gáz fajhőjét tekintsük állandónak.
     Végeredmény

     $\[T=\frac{T_1+T_2}{2}-\frac{ma\left(V_1-V_2\right)^2}{2M^2c_VV_1V_2\left(V_1+V_2\right)}\]$
     Megoldás
     
     
10. Kondenzált (folyadék vagy szilárd) anyagok egyik közelítő állapotegyenlete
    $\[V= V_0(1-ap+bT).\]$
    Mi az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paraméterek jelentése?
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatnál érvényes izotermikus kompresszibilitás és hőtágulási együttható.
    Megoldás
    
    
11. Szilárd testek hőtágulási együtthatója, illetve izotermikus kompresszibilitása alacsony hőmérsékleten az alábbi összefüggésekkel adható meg:
    $\[ \beta_p = \frac{3aT^3}{V},\qquad \kappa_T=\frac{b}{V} \]$
    ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandók). Határozzuk meg a szilárd test ilyenkor érvényes állapotegyenletét!
    Útmutatás

    Integráljuk a fenti mennyiségek definíciós egyenletét!
    Végeredmény

    $\[p=\frac{3a}{4b}T^4+\frac{V_0-V}{b},\]$

    ahol $\setbox0\hbox{$V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó.
    Megoldás
    
    
12. Fejezzük ki a $\setbox0\hbox{$C_p-C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ különbséget $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együttható segítségével!
    Útmutatás

    Használjuk fel az általános

    $\[C_p-C_V=\frac{1}{n}\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\]$

    egyenletet, a Van der Waals-gáz belső energiájára vonatkozó összefüggést és a hőtágulási együttható definícióját.
    Végeredmény

    $\[C_p-C_V=\frac{RT\beta_p}{1-nb/V}.\]$
    Megoldás