Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok

Néhány fontos összefüggés

A Carnot-körfolyamat hatásfoka $\setbox0\hbox{$T_1<T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartályokkal

$\[ \eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}, \]$

a hőszivattyú teljesítménytényezője $\setbox0\hbox{$K_\text{hsz}=\frac1\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hűtőgép jósági tényezője $\setbox0\hbox{$K_\text{hg} = 1- \frac1\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Az ábrának megfelelő folyamatokra a szokásos jelölésekkel:

	ΔQ	ΔU	ΔW
izobár p=const.	$\setbox0\hbox{$\displaystyle p_1\frac{C_p}{R}\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle p_1\frac{C_V}{R}\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle p_1\left(V_1-V_2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
izochor V=const.	$\setbox0\hbox{$\displaystyle V_1\frac{C_V}{R}\left(p_2-p_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle V_1\frac{C_V}{R}\left(p_2-p_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
izoterm T=const.	$\setbox0\hbox{$\displaystyle nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
adiabatikus S=const.	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle -\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Feladatok

1. Melegszik vagy lehűl az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideális gáz, ha a $\setbox0\hbox{$V=k/\sqrt{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés ($\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   Útmutatás

   A fajhő általános definícióját használjuk, majd az állapotváltozás „pályáját” megadó egyenlet segítségével keressük meg a $\setbox0\hbox{$V=V(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt és abból a $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V/\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hányadost!
   Végeredmény

   Lehűl,

   $\[C=C_V-R\]$
   Megoldás
   
   
2. Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.
   Útmutatás

   Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re kapott differenciálegyenletet.
   Végeredmény

   $\[pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.\]$
   Megoldás
   
   
3. Ideális gáz állapotváltozását a $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ síkon a $\setbox0\hbox{$p=f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés írja le.
   • a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a
     $\[c(V)=c_V+R\frac{f(V)}{f(V)+V\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}\]$
     összefüggés adja meg!
     Útmutatás

     A fejhő definíciós egyenletébe írjuk be a megadott függvényt, használjuk az állapotegyenletet és alkalmazzuk a

     $\[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)^{-1}\]$

     összefüggést!
   • b) Milyen $\setbox0\hbox{$p_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $\setbox0\hbox{$p=a-bV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenlet adja meg ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismert pozitív állandók)?
     Útmutatás

     Használjuk ki, hogy a maximális hőmérsékletnek megfelelő izoterma az állapotváltozást leíró görbe érintője, ahol a fajhőnek szingularitása van!
     Végeredmény

     $\[V_m=\frac{a}{2b}\qquad\text{és}\qquad p_m=\frac{a}{2}\]$
     Megoldás
     
     
4. Az első ábrán egy ideális gázzal végzett körfolyamat $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramja látható. Ábrázoljuk a folyamatot $\setbox0\hbox{$T-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramon!
5. A második ábrán egy ideális gázzal végzett körfolyamat $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramja látható. Mekkora a gáz által végzett munka?
   
   Végeredmény

   $\[W=0.\]$
   Megoldás
   
   
6. $\setbox0\hbox{$n\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású kétatomos ideális gázt $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatról állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatúra nyomunk össze (az ábrán 1-es út). Ezen az állandó térfogaton eredeti hőmérsékletére melegítjük (2-es út), majd izotermikusan a kiinduló térfogatára tágítjuk (3-as út).
   
   • a) Mennyivel változott a gáz belső energiája az 1-es úton?
     Végeredmény

     $\[\Delta U_1 = p_1 \frac{V_2-V_1}{\gamma-1}, \qquad \gamma=\frac75\]$
   • b) Mennyivel hőt kellet közölnünk a gázzal a 2-es úton?
     Végeredmény

     $\[\Delta Q_2=-\Delta U_1\]$
   • c) Mekkora a gáz által végzett munka és a gáz által felvett hő a teljes körfolyamatban?
     Végeredmény

     $\[\Delta W = \Delta Q = p(V_2-V_1)+p_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)\]$
     Megoldás
     
     
7. Egy Carnot-hűtőgép egyik hőtartályában $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, forrásban lévő víz, a másikban $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű víz van. A víz forráshője $\setbox0\hbox{$L_f=2,25\cdot {10}^6\,\mathrm{\frac{J}{kg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a jég olvadáshője $\setbox0\hbox{$L_o=3,35\cdot {10}^5\,\mathrm{\frac{J}{kg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • a) Mennyi vizet kell az alsó hőtartályban $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű jéggé fagyasztani ahhoz, hogy a felső hőtartályban $\setbox0\hbox{$m_g=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű gőz keletkezzék?
     Végeredmény

     $\[m_j=(1-\eta)L_f m_g/L_o=49{,}16\,\mathrm{kg},\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a körfolyamat hatásfoka.
   • b) Mennyi külső munkát kell a körfolyamatba betáplálni?
     Végeredmény

     $\[W=\eta L_f m_g=6{,}03\cdot 10^5\,\mathrm{J},\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a körfolyamat hatásfoka.
     Megoldás
     
     
8. Az ábrán a $\setbox0\hbox{$T_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletekkel meghatározott körfolyamat látható. Mekkora annak a gépnek a hatásfoka, amelyik ezt a körfolyamatot mólnyi mennyiségű, adott $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszonyú ideális gázzal valósítja meg?
   
   Végeredmény

   $\[\eta=1-\gamma\frac{x^{1/gamma}-1}{x-1},\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$x=T_B/T_A.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
9. $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mólnyi ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A körfolymat két izobár és két adiabata szakaszból áll, amelyeket a $\setbox0\hbox{$p_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$p_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adatok határoznak meg (ez a gőzgép sémája).
   
   • a) Mekkora a gőzgép hatásfoka?
   • b) Hogyan függ a hatásfok attól, hogy hány atomos gázmolekulákkal végezzük a körfolyamatot?
   • c) Az adott gépnél és az adott gáznál hogyan növelhető a hatásfok?
     Végeredmény

     a)

     $\[\eta=1-\left(\frac{p_A}{p_F}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.\]$

     
     b) A molekulák szabadsági fokának csökkentésével a hatásfok nő.
     c) A nyomásviszony növelésévekl a hatásfok nő.
     Megoldás
     
     
10. Egy épület fűtésére az ún. dinamikus fűtést használjuk:
    1. A fűtőanyagot elégetjük egy hőerőgép tűzszekrényében, melynek hőmérsékletét állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten tartjuk (ez a hőerőgép felső hőtartálya).
    2. A hőerőgép egy hőszivattyút működtet, amelynek alsó hőtartálya egy tó $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vize, felső hőtartálya pedig a hőerőgépet hűtő $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű víz, amely az épületet egyúttal fűti ($\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$).

    A tűzszekrényben $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ égéshőjű anyag ég, a hőerőgép és a hőszivattyú veszteség nélkül, Carnot-hatásfokkal működik. Határozzuk meg, mennyi hőt kap a helyiség egységnyi tömegű fűtőanyag elégetése árán!

    Végeredmény

    $\[Q=q\frac{1-T_2/T_1}{1-T_2/T}>q.\]$

    Megoldás