Termodinamika példák - Dinamikus fűtés hőszivattyúval

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy épület fűtésére az ún. dinamikus fűtést használjuk:
    1. A fűtőanyagot elégetjük egy hőerőgép tűzszekrényében, melynek hőmérsékletét állandó \setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten tartjuk (ez a hőerőgép felső hőtartálya).
    2. A hőerőgép egy hőszivattyút működtet, amelynek alsó hőtartálya egy tó \setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű vize, felső hőtartálya pedig a hőerőgépet hűtő \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű víz, amely az épületet egyúttal fűti (\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%).
    A tűzszekrényben \setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% égéshőjű anyag ég, a hőerőgép és a hőszivattyú veszteség nélkül, Carnot-hatásfokkal működik. Határozzuk meg, mennyi hőt kap a helyiség egységnyi tömegű fűtőanyag elégetése árán!

Megoldás

A dinamikus fűtési elrendezés

A \setbox0\hbox{$C_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfolyamat által termelt munka

\[ W = Q_1-|Q_1'|, \]

a körfolyamat hatásfoka pedig

\[ \eta_1 = \frac{W}{Q_1}     = 1-\frac{|Q_1'|}{Q_1}     = 1-\frac{T}{T_1}. \]

Kifejezve a lakásnak átadott \setbox0\hbox{$Q_1'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% maradványhőt

\[ |Q_1'| = Q_1\frac{T}{T_1} \]

a munka kifejezése egyszerűsödik:

\[ W = Q_1\left(1-\frac{T}{T_1}\right). \]

Mivel a felső hőtartályt állandó hőmérsékletűnek tartjuk \setbox0\hbox{$Q_1=q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A \setbox0\hbox{$C_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfolyamat hatásfoka

\[ \eta_2 = \frac{W}{|Q_2'|}     = 1-\frac{T_2}{T}, \]

aminek segítségével a fűtésre juttatott hő kifejezhető:

\[ |Q_2'| = \frac{W}{1-\frac{T_2}{T}}     = Q_1\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}. \]

A teljes rendszer fűtőteljesítménye

\[ Q = |Q_1'|+|Q_2'|     = Q_1 \left(\frac{T}{T_1}+\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\right)     = Q_1 \left(\frac{\frac{T}{T_1}-\frac{T_2}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}+\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\right)     = Q_1 \frac{1-\frac{T_2}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}>q, \]

hiszen \setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.