Termodinamika példák - Ideális gáz egy körfolyamata izotermával

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$n\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomású kétatomos ideális gázt \setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatról állandó nyomáson \setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatúra nyomunk össze (az ábrán 1-es út). Ezen az állandó térfogaton eredeti hőmérsékletére melegítjük (2-es út), majd izotermikusan a kiinduló térfogatára tágítjuk (3-as út).
    Körfolyamat izotermával.svg
    • a) Mennyivel változott a gáz belső energiája az 1-es úton?
    • b) Mennyivel hőt kellet közölnünk a gázzal a 2-es úton?
    • c) Mekkora a gáz által végzett munka és a gáz által felvett hő a teljes körfolyamatban?

Megoldás

A kétatomos ideális gázt \setbox0\hbox{$f=5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szabadsági fok és \setbox0\hbox{$\gamma=\frac{f+2}{f}=\frac{7}{5}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhőviszony jellemzi. Az egyes utakat \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetében alsó indexben jelöljük.

a) Az ideális gáz belső energiája kifejezhető a hőmérséklettel, amit pedig az állapotegyenlet segítségével tudunk a megadott adatokra visszavezetni:

\[ \Delta U_1 = \frac{f}{2}nR\left(T_2-T_1\right)     = \frac{f}{2} p_1\left(V_2-V_1\right)     = p_1\frac{V_2-V_1}{\gamma-1}. \]

b) Izochor átalakulás során nincs térfogati munka, az első főtétel \setbox0\hbox{$\Delta Q_2 = \Delta U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakot ölti. Mivel a kezdeti hőmérsékletre térünk vissza

\[ \Delta Q_2 = \Delta U_2 = -\Delta U_1. \]

c) Körfolyamat során a rendszer a kiindulási állapotába tér vissza, \setbox0\hbox{$\Delta U = \oint \mathrm{d}U = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezért az első főtétel értelmében

\[ \oint \delta Q = \oint \delta W = \Delta W_1+\Delta W_2+\Delta W_3 \]

a három szakaszból számolható, minden felvett hő munkavégzésre fordítódik. Az egyes szakaszok:

  • \setbox0\hbox{$\Delta W_1 = p_1\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, hiszen az integráljuk értéke a \setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% diagrambeli téglalap területe;
  • \setbox0\hbox{$\Delta W_2 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, hiszen nincs térfogatváltozás;
  • \setbox0\hbox{$\Delta W_3 = \int_3 p \,\mathrm{d}V = nR T_1 \int_{V_2}^{V_1} \frac{\mathrm{d}V}{V} = p_1 V_1 \ln (\frac{V_1}{V_2})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
Ezekkel
\[\Delta Q = \Delta W = p(V_2-V_1)+p_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right).\]