Termodinamika példák - Ideális gáz körfolyamata izobár és adiabatikus állapotváltozásokkal

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mólnyi ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A körfolymat két izobár és két adiabata szakaszból áll, amelyeket a $\setbox0\hbox{$p_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$p_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adatok határoznak meg (ez a gőzgép sémája).
   
   • a) Mekkora a gőzgép hatásfoka?
   • b) Hogyan függ a hatásfok attól, hogy hány atomos gázmolekulákkal végezzük a körfolyamatot?
   • c) Az adott gépnél és az adott gáznál hogyan növelhető a hatásfok?

Megoldás

a) Hőcsere csak az izobár szakaszokon történik. A hatásfok definíció szerint

$\[ \eta = 1-\frac{|Q_\text{le}|}{Q_\text{fel}}=1-\frac{C_p(T_1-T_A)}{C_p(T_F-T_2)}. \]$

Adiabatikus állapotváltozásnál $\setbox0\hbox{$p^\frac{1-\gamma}{\gamma}T=\text{const.}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezért bevezetve az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változót a jelen körfolyamatban

$\[ \frac{T_1}{T_F} = \left(\frac{p_A}{p_F}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma} \equiv x \qquad\text{és}\qquad \frac{T_2}{T_A} = \frac{1}{x}. \]$

Ezt behelyettesítve a hatásfok kifejezésébe

$\[ \eta = 1-\frac{T_Fx-T_A}{T_F-T_A\frac{1}{x}} = 1-x = 1-\left(\frac{p_A}{p_F}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}. \]$

b) Tudjuk, hogy $\setbox0\hbox{$\gamma=\frac{f+2}{f}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amiből a fenti kitevő $\setbox0\hbox{$\frac{1-\gamma}{\gamma}=\frac{2}{f+2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezt alkalmazva megállapítható, hogy a hatásfok a szabadsági fokok számának csökkentésével nő, hiszen $\setbox0\hbox{$\frac{p_A}{p_F}<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \eta = 1-\left(\frac{p_A}{p_F}\right)^\frac{2}{f+2}. \]$

c) A nyomásviszony növelésével $\setbox0\hbox{$\frac{p_A}{p_F}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csökkenthető, ezáltal a hatásfok nő.