Termodinamika - Entrópia, II. főtétel

Az entrópia

Az entrópiaváltozás általános definíciója

$\[ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, \]$

ahol az I. főtételből kifejezhetjük a közölt hőt:

$\[ \mathrm{d}S= C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + \frac{p\,\mathrm{d}V}{T}. \]$

Spontán folyamatokban $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}S\geq0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, reverzíbilis folyamatokban $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}S=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, irreverzíbilis folyamatokban $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}S>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A termodinamika II. főtétele kimondja, hogy egy periodikusan működő hőerőgép $\setbox0\hbox{$\eta = \frac{Q_\text{fel}-Q_\text{le}}{Q_\text{fel}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hatásfoka mindig kisebb $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél: $\setbox0\hbox{$\eta<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A termodinamika III. főtétele kimondja, hogy homogén szilárd és folyékony anyagok entrópiája az abszolút nulla hőmérséklethez közeledve nullához tart: $\setbox0\hbox{$S(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Feladatok

1. $\setbox0\hbox{$p_1=2\cdot {10}^6\,\mathrm{Pa}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású, $\setbox0\hbox{$T=27\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű és $\setbox0\hbox{$ V_1=1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú ideális gáz izotermikusan $\setbox0\hbox{$p_2={10}^5\,\mathrm{Pa}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomásig terjed ki. Mennyivel változott meg eközben az entrópiája?
   Útmutatás

   Használjuk az entrópiaváltozás definícióját és az állapotegyenletet!
   Végeredmény

   $\[\Delta S=\frac{p_1 V_1}{T}\ln\frac{p_1}{p_2}=19{,}97\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   Megoldás
   
   
2. Mennyivel változik meg $\setbox0\hbox{$m=1\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nitrogéngáz entrópiája, ha állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$V_1=1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatról $\setbox0\hbox{$V_2=5\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatra expandáltatjuk.
   Végeredmény

   $\[\Delta S=\frac{m}{\mu_\mathrm{N_2}}C_p\ln\frac{V_2}{V_1}=3{,}34\,\mathrm{\frac{J}{K}}, \qquad C_p=\frac72R.\]$
   Megoldás
   
   
3. Tekintsünk $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ móltömegű, $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszonyú ideális gázt.
   • a) Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!
     Útmutatás

     Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!
     Végeredmény

     $\[S=\frac{m}{M}R\ln\left(T^{\frac{1}{\gamma-1}}V\right)+S_0\]$
   • b) A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!
     Útmutatás

     Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!
     Végeredmény

     $\[TV^{\gamma-1}=\mathrm{const.}\]$
     Megoldás
     
     
4. Az ideális gáz entrópiáját gyakran az $\setbox0\hbox{$S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln V+ S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban használják.
   • a) Indokolja meg, hogy az $\setbox0\hbox{$S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiségnek függnie kell a rendszer anyagmennyiségét megadó $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mólszámtól!
     Végeredmény

     Az entrópia extenzív állapotjelző.
   • b) Adjon meg egy olyan $\setbox0\hbox{$S_0(n)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-függést, amellyel az entrópia fenti kifejezése teljesíti az a) pontban szereplő követelményt!
     Végeredmény

     $\[S_0(n)=-nR\ln n+ns_0,\]$

     amivel az entrópia

     $\[S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln \frac{V}{n}+ ns_0,\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$s_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ már $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-től független.
     Megoldás
     
     
5. $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os víz állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os gőzzé alakul. Határozzuk meg a folyamat alatt bekövetkező entrópiaváltozást!.
   Végeredmény

   $\[\Delta S = mc\ln\frac{373}{273}+\frac{mL_f}{373\,\mathrm{K}}=7{,}36\,\mathrm{\frac{J}{K}},\]$

   $\setbox0\hbox{$m=10^{-3}\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a víz tömege, $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a víz fajhője, $\setbox0\hbox{$L_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a forráshője.
   Megoldás
   
   
6. $\setbox0\hbox{$m=1 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$T_0=273\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vizet termikus kapcsolatba hozunk egy $\setbox0\hbox{$T_H=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartállyal.
   • a) Mekkora a víz entrópia-változása, miután a hőmérséklete elérte a hőtartály hőmérsékletét?
     Végeredmény

     $\[1306\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   • b) Mekkora eközben a hőtartály entrópia-változása?
     Végeredmény

     $\[-1121\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   • c) Mekkora a teljes rendszerben (hőtartály és víz) létrejött entrópia-változás?
     Végeredmény

     $\[185\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   • d) Mennyi a teljes rendszerben létrejött entrópia-változás, ha a testet először egy $\setbox0\hbox{$T_i=323\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartállyal, majd az egyensúly beállta után a $\setbox0\hbox{$T_H=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk kapcsolatba?
     Végeredmény

     $\[98\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   • e) Lehet-e úgy melegíteni a vizet, hogy a teljes rendszer entrópia-változása kisebb legyen egy előírt értéknél (vagyis a folyamat előírt mértékben megközelítse a reverzíbilis folyamatot)?
     Végeredmény

     Igen.
     Megoldás
     
     
7. Tekintsünk ideális gázzal végzett Carnot-körfolyamatot.
   • a) Ábrázoljuk a Carnot-körfolyamatot $\setbox0\hbox{$T-S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramban!
   • b) Mutassuk ki, hogy a körfolyamatban a gáz által végzett munka most is a körfolyamat területével egyenlő!
   • c) Számítsuk ki a fentiek alapján a Carnot-körfolyamat hatásfokát!
     Megoldás
     
     
8. Egymástól válaszfallal elzárt, $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú két edényben azonos hőmérsékletű, azonos nyomású, $\setbox0\hbox{$n_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$n_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mólszámú, különböző fajtájú ideális gáz van. Ha a válaszfalat eltávolítjuk, akkor a két gáz összekeveredik.
   • a) Indokoljuk meg, hogy a folyamatban miért nem változik a hőmérséklet és a nyomás!
     Végeredmény

     Ideális gázról van szó és érvényes a Dalton-törvény.
   • b) Határozzuk meg az entrópia-változást (az ún. keverési entrópiát), és fejezzük ki a gázok $\setbox0\hbox{$n_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$n_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mólszámaival!
     Útmutatás

     Alkalmazzuk az Ideális gáz entrópiájáról szóló feladatban kapott entrópia-kifejezést, tegyük fel, hogy a teljes edényt kitöltő két gáz mindegyikének entrópiája úgy számítható, mintha a másik nem lenne jelen, és használjuk fel a Dalton-törvényt.
     Végeredmény

     $\[\Delta S = R n_1 \ln\frac{n_1+n_1}{n_1} + R n_2 \ln\frac{n_1+n_2}{n_2}\]$
   • c) Számítsuk ki az entrópia-változást, ha a két edényben azonos fajtájú gáz van!
     Útmutatás

     A levezetésnél vegyük figyelembe, hogy a keverés utáni állapotban az egész edényben ugyanaz a gáz van. A különböző gázokra levezetett fenti összefüggésből nem kapunk helyes eredményt; ez a Gibbs-féle paradoxon.
     Végeredmény

     $\[\Delta S=0\]$
     Megoldás
     
     
9. $\setbox0\hbox{$0{,}2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vasat hőszigetelt kaloriméterben lévő, $\setbox0\hbox{$0{,}5\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$12\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os vízbe teszünk. A vas fajhője $\setbox0\hbox{$c_1=0{,}46\cdot {10}^3\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a vízé $\setbox0\hbox{$c_2=4{,}18\cdot {10}^3\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mennyi az entrópiaváltozás a hőmérséklet kiegyenlítődése miatt, ha a nyomás állandó?
   Végeredmény

   $\[T_k=288{,}7\,\mathrm{K},\qquad \Delta S=3{,}41\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   Megoldás
   
   
10. Két test azonos $\setbox0\hbox{$C=100\,\mathrm{\frac{J}{K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitású, de hőmérsékletük különböző: $\setbox0\hbox{$T_1=273\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T_2=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
    • a) Mennyi lesz a közös hőmérsékletük, ha termikus kapcsolatba hozzuk őket úgy, hogy a környezet felé ne legyen hőátadás?
      Végeredmény

      $\[T_k=\frac{T_1+T_2}{2}\]$
    • b) Mennyi lesz a közös hőmérséklet, ha a kiegyenlítődést egy reverzíbilisen működő hőerőgép végzi?
      Végeredmény

      $\[T_k=\sqrt{T_1 T_2}\]$
    • c) Ha a kiegyenlítődés nem jár térfogatváltozással, mekkora lesz a két esetben a belső energia megváltozása és az entrópia-változás?
      Végeredmény

      $\[\Delta U_a=0, \qquad \Delta U_b=2C\sqrt{T_1 T_2}-CT_1-CT_2=-778{,}7\,\mathrm{J},\]$

      $\[\Delta S_a=2C\ln\frac{T_1+T_2}{2}-C\ln T_1-C\ln T_2=2{,}42\,\mathrm{\frac{J}{K}}, \qquad \Delta S_b=0.\]$
      Megoldás