Kvantummechanikai bevezető
A Fizipedia wikiből
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kvantummechanikai bevezető |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Ismert fizikai állandók
 |
= |  |
Boltzmann-állandó |
 |
= |  |
Planck-állandó ( )
|
 |
= |  |
Stefan–Boltzmann-állandó |
 |
= |  |
vákuumbeli fénysebesség |
 |
= |  |
elemi töltés |
 |
= |  |
elektron tömege |
 |
= |  |
proton tömege ( )
|
 |
= |  |
Rydberg-állandó |
 |
= |  |
finomszerkezeti állandó ( )
|
Feladatok
- Nyári napsütésben, délben a Föld felszínének
-én átlagosan kb. 
napsugárzási teljesítmény mérhető. Becsüljük meg a Nap felszínének hőmérsékletét!
(
)ÚtmutatásHasználjuk ki, hogy a Nap által kibocsátott összes sugárzási teljesítmény egyenletesen oszlik el egy földpálya sugarú gömbfelületen.Végeredmény
- Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb.
. Az emberi szem a 
hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!ÚtmutatásHasználja a Planck-féle sugárzási törvényt, a látható intervallumban alkalmazzon közelítést.Végeredmény![\[\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}=0{,}355\%\]](/images/math/e/a/1/ea1bc4434817421fb132a20eb6e23fd8.png)
- Határozzuk meg, hogy egy
hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!ÚtmutatásA Planck-féle sugárzási törvényben különítse el a foton energiáját.Végeredmény![\[N = 2{,}404 \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3\]](/images/math/5/2/5/525d3b6c79fc0b7e9c3c5bc6bbcf4e34.png)
- Egy
-os megfelelő gázzal töltött lámpától 
-re egy tantál fémfelületet (
) helyezünk el. A klasszikus elmélet alapján becsülje meg, hogy egy elektron átlagosan mennyi idő alatt gyűjtene össze annyi energiát, amivel kiléphet a fémből!
(A valóságban a fotoeffektus során az elektronok a megvilágításkor „azonnal” kilépnek a fémből.)ÚtmutatásHasználja fel, hogy az izzó által kibocsátott összes sugárzási teljesítmény egyenletesen oszlik el az sugarú gömbfelületen. Végeredmény![\[\Delta t= \frac{16\Phi_0}{P} \left( \frac{\ell}{D_\mathrm{Ta}} \right)^2 = 4{,}88\,\mathrm{s}\]](/images/math/a/9/0/a90e4994c9b40edbfb9deab6614d74db.png)
- Határozza meg, hogy a Compton-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!ÚtmutatásA Compton-szórás levezetéséhez írja fel a relativisztikus energia- és impulzusmegmaradást.Végeredményahol
![\[\eta = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1},\]](/images/math/e/3/d/e3d6a9c5338b3763b4cad5550a858ae6.png)
a foton eltérülése eredeti irányától.
- Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e olyan effektus, hogy egy szabad elektron teljes egészében elnyel egy fotont (teljesen rugalmatlan ütközés)! Ennek fényében, hogyan magyarázható a fotoeffektus?ÚtmutatásVizsgálja meg milyen körülmények között jöhetne létre Compton-szórás szabad elektronra.VégeredménySzabad elektronra nem létezik. Fotoeffektusnál az energiamegmaradásban figyelembe kell venni a kilépési munkát.
- Alkalmazza a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!ÚtmutatásÍrja fel és „kvantálja” a fázistérbeli pályaintegrált!VégeredményKörpályán mozgó elektronra
, lineáris oszcillátorra 
.
- Számítsa ki a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a „körpályán” keringő elektron pályasugarát, sebességét, perdületét és energiáját!ÚtmutatásÍrja fel a körpályán tartó Coulomb-erőt és alkalmazza a kvantumhipotézist!Végeredmény
![\[ v_n = \frac{v_0}{n}, \qquad r_n = a_0 n^2,\]](/images/math/b/e/f/befdf1be2cd0570bc1714f3c8617241f.png)
ahol![\[L_n = n\hbar, \qquad E_n = -\frac{E_0}{n^2}, \]](/images/math/f/b/6/fb6b76901bce25c085edd4b2973f8e77.png)
![\[v_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}, \qquad a_0 = \frac{\hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{m_e e^2}, \]](/images/math/4/9/9/4999909021a110d647609282a1008127.png)
![\[ E_0 = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2}.\]](/images/math/e/3/2/e3286e30266aeb2eb0d27f902ea46e8c.png)
- Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a relativisztikus tömegnövekedés milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben!ÚtmutatásFejtse sorba a relativisztikus tömeget.Végeredmény
![\[ E_n = -\frac{E_0}{n^2}-\frac{E_0}{2} \frac{\alpha_f^2}{n^4}+O\left[n^{-6}\right], \]](/images/math/1/9/9/199cedfdb000e94b97da397355f62e91.png)
-ben negyedrendű korrekciót kapunk. Megjegyzendő, hogy az együttható nem pontos, mert a klasszikus relativisztikus tárgyalás nem juthat el arra a helyes eredményre, ami a kvantummechanikában a Klein–Gordon-formula néven ismert.
- Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!ÚtmutatásOldja meg a Bohr-modellt tömegközépponti koordináta-rendszerben.Végeredmény
![\[E_n^* = -\frac{E_0}{n^2},\]](/images/math/6/e/e/6ee9b65a150eb583861a491351b3a4f1.png)
ahol![\[ E_0^* = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right), \]](/images/math/3/c/f/3cfa608d96f63f174a55fb8b88a36a1c.png)
az elektron, 
pedig az atommag tömege.
- Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!ÚtmutatásAlkalmazza az energia- és az impulzusmegmaradás tételét.VégeredményAz új frekvenciaahol
![\[\nu' \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}},\]](/images/math/b/3/4/b3456225f815bfd0b26120dce20131a2.png)
a visszalökődés nélküli foton frekvenciája, az atom tömege.
- Mutassa meg, hogy miként teljesül a „korrespondencia-elv” a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a fénykibocsátása esetén!ÚtmutatásVizsgálja a hidrogénatom magasan gerjesztett állapotai közti átmeneteket.
- Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nemrelativisztikus esetekben!ÚtmutatásA relativisztikus összenergia
.
- Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!ÚtmutatásAz elektron sugárirányú megtalálási valószínűségének eloszlás
![\[ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}.\]](/images/math/c/0/f/c0f960f3b75cc266fda2e137a4acc04b.png)
Végeredmény![\[r_\text{lv.}=n^2 a_0\]](/images/math/b/a/7/ba7a51917aa422072b054ff3f54a2da0.png)
