Kvantummechanikai bevezető példák - Emissziós spektrum korrekciója visszalökődéssel

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozza meg, hogy az atomok fotonkibocsátásakor fellépő visszalökődés milyen korrekciót jelent az emissziós spektrumban!

Megoldás

Oldjuk meg a feladatot általánosabban, fotonkibocsátásra (\setbox0\hbox{$\nu'>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és -elnyelésre (\setbox0\hbox{$\nu'<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), \setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-gyel az atom kezdő, \setbox0\hbox{$2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel a végállapotát indexelve. Az energiamegmaradás elve szerint

\[ E_1 + \frac12 Mv_1^2 = E_2 + \frac12 M v_2^2 + h\nu', \]

ahol \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektronpálya energiája, \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az atom tömege, \setbox0\hbox{$\nu'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a foton frekvenciája. Jelölje \setbox0\hbox{$h\nu = E_1-E_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a visszalökődési korrekció nélkül kibocsátott (\setbox0\hbox{$\nu>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) vagy elnyelt (\setbox0\hbox{$\nu<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) foton energiáját. Az impulzusmegmaradás szerint

\[ M v_1 = M v_2 + \frac{h\nu'}{c}, \]

ahol a fotont pozitív irányba haladónak, az atommag \setbox0\hbox{$v_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti- ill. \setbox0\hbox{$v_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% végsebességét előjelesen értelmezzük.

Az energiamegmaradásból fejezzük ki a korrigált és az „eredeti” foton energiájának különbségét:

\[ h(\nu'-\nu) = \frac12 M(v_1-v_2)(v_1+v_2) = \frac12 \frac{h\nu'}{c}(v_1+v_2), \]

ahol az utolsó lépésben az impulzusmegmaradást használtuk. Ismét az impulzusmegmaradásból

\[ v_2=v_1-\frac{h\nu'}{Mc}, \]

amivel

\[ h(\nu'-\nu) = \left(\frac{h\nu'}{c}v_1 - \frac{(h\nu')^2}{2Mc^2} \right). \]

Itt két effektus figyelhető meg:

  • a fotont kibocsátó atom sebessége nagy (\setbox0\hbox{$|v_1|\approx c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) vagy az atomot rögzített nem tekintjük (\setbox0\hbox{$M\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), akkor a frekvencia a Doppler-effektusnak megfelelően
    \[ \nu' = \frac{\nu}{1-\displaystyle \frac{v_1}{c}} \]
    módon tolódik el;
  • az álló atom által (\setbox0\hbox{$v_1=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) kibocsátott foton energiája kisebb, mint a rögzített atomra végzett számításból adódna. Az átmenet energiájának egy részét a visszalökődéssel az atommag viszi el kinetikus energia formájában, a foton frekvenciája
    \[ \nu' = \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu'}{Mc^2}} \approx \frac{\nu}{1+\displaystyle \frac{h\nu}{Mc^2}}. \]
    A számításból adódik, hogy abszorpció létrejöttéhez nagyobb abszolút értékű fotonenergiára van szükség, mint amit a kibocsátott fotonok hordoznak; ez a hatás mérhető, ugyanis alacsony hőmérsékleten szilárd testek atomjai egyre inkább képesek visszalökődés nélküli abszorpcióra. A jelenséget felfedezőjéről Mössbauer-effektusnak nevezzük.