Kvantummechanikai bevezető példák - Korrespondencia-elv a Bohr-féle hidrogénmodellben

Feladat

1. Mutassa meg, hogy miként teljesül a „korrespondencia-elv” a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a fénykibocsátása esetén!

Megoldás

A klasszikus elektrodinamika szerint a körpályán mozgó elektron által kibocsátott sugárzás körfrekvenciája éppen a keringés körfrekvenciája:

$\[ \omega_n = \frac{2\pi r_n}{v_n} = \frac{2\pi a_0}{v_0} \frac{1}{n^3} = \frac{m_e e^4}{4\varepsilon_0^2 h^3} \frac{1}{n^3}. \]$

A Bohr-modell 4. posztulátuma szerint az energiaszintek közötti átmenetekre $\setbox0\hbox{$\hbar \omega = E_f-E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz

$\[ \hbar \omega = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right). \]$

A korrespondencia-elv szerint a magasan gerjesztett kvantumállapotok esetén ez a kvantummechanikai kifejezés megegyezik a klasszikus elméletből származó eredménnyel. Ezt igazolja a nagy $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ekre

$\[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \propto \frac{2}{n^3} \]$

kapott aszimptotikus viselkedés.