Kvantummechanikai bevezető példák - Fluxuskvantálás szemléletesen

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Alkalmazza a BohrSommerfeld-féle kvantálási hipotézist körpályán mozgó elektronra és egy lineáris oszcillátorra! Magyarázza meg a szupravezetésnél fellépő „fluxuskvantálás” jelenségét a Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási hipotézis segítségével!

Megoldás

A Bohr-féle hidrogénmodell posztulátumai:

  1. Az elektron körpályán mozog (centrális erőtér).
  2. Megengedett pályasugarak, stacionárius pályák, ahol a töltéssel rendelkező elektron energiaveszteség nélkül keringhet (a körmozgás gyorsuló mozgás).
  3. A megengedett pályákon az elektron impulzusmomentuma kvantált: \setbox0\hbox{$L\equiv mvr = n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (kvantumhipotézise).
  4. Két, \setbox0\hbox{$E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$E_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiájú pálya közti átmenetre a fotonkibocsátás/fotonelnyelés \setbox0\hbox{$h\nu=E_f-E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A körpályán mozgó elektronra vonatkozó 3. posztulátumot felírhatjuk Lagrange-formalizmusban a rendszer \setbox0\hbox{$\mathcal{L}=\frac12 m r^2 \dot{\varphi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ún. Lagrange-függvénye segítségével. Eszerint \setbox0\hbox{$p_\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kanonikus impulzusmomentum stacionárius pályára vett fázistérbeli integrálja kvantált:

\[ \oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \,p_\varphi = nh, \]

ahol \setbox0\hbox{$p_\varphi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi} = mvr, $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% innen \setbox0\hbox{$p_\varphi=n\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A lineáris oszcillátor Lagrange- és Hamilton-függvénye rendre

\[ \mathcal{L}=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac12 m \omega^2 x^2 \qquad\text{és}\qquad \mathcal{H}=\frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 x^2, \]

ahol \setbox0\hbox{$p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kanonikus impulzus. \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázistérbeli integrálja az \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiájú pályán a \setbox0\hbox{$\mathcal{H}=E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletű (azaz \setbox0\hbox{$\frac{p^2}{\left(\sqrt{2mE}\right)^2} + \frac{x^2}{\left(\sqrt{\textstyle \frac{2E}{m \omega^2}}\right)^2}=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletű) ellipszis területét adja. A pályaintegrál legyen az előző esethez hasonlóan kvantált:

\[ \oint p\,\mathrm{d}x = \pi \sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}} = \pi \frac{2E}{\omega} = nh, \]

amiből \setbox0\hbox{$E=n\omega\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A fluxuskvantálás magyarázatához fel kell még használnunk, hogy a kritikus hőmérséklet alatt elsőfajú szupravezető belsejében mind a mágneses tér, mind az áramerősség nulla, áramok csak a felületen folynak.