Kvantummechanikai bevezető példák - Foton és elektron kinetikus energiája a hullámszám függvényében

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Hasonlítsa össze a foton és az elektron kinetikus energia-hullámszám görbéjét! Elemezze a lehetséges jellegzetességeket relativisztikus, és nemrelativisztikus esetekben!

Megoldás

A relativisztikus összenergia

\[ E(\mathbf{p}) = \sqrt{m_0^2c^4+c^2p^2}, \]

ahol \setbox0\hbox{$m_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a részecske nyugalmi tömege, \setbox0\hbox{$\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a relativisztikus impulzusa kifejezve a \setbox0\hbox{$\mathbf{k}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszámmal. Ebből kivonva a nyugalmi energiát a kinetikus energiát kapjuk:

\[ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = E(\mathbf{\hbar k}) - m_0c^2. \]
A foton nyugalmi tömege nulla, ezért az
\[ E_\text{kin}^\text{foton}(\mathbf{k}) = \hbar |\mathbf{k}| c \]
diszperziós relációja lineáris.

Relativisztikus összenergia.svg Relativisztikus kinetikus energia.svg

Kis sebességekre \setbox0\hbox{$p\ll c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (nemrelativisztikus tartomány) a kinetikus energia sorba fejthető

\[ E_\text{kin}(\mathbf{k}) = m_0c^2 \left[ \sqrt{1+\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2} - 1 \right]     = m_0c^2 \left[ 1+\frac12\left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2 + O(p^4) - 1 \right]     =\frac{p^2}{2m_0} + O(p^4), \]

és visszakapjuk a newtoni viselkedést a négyzetes diszperziós relációval.