Kvantummechanikai bevezető példák - Bohr-féle hidrogénmodell kéttest korrekciója

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Számítsa ki, hogy a hidrogénatom Bohr-féle modelljében a mag véges nagyságú tömege milyen korrekciót jelentene az energiaszintekben és a spektrumban!

Megoldás

A kéttest korrekció alkalmazásakor a Bohr-modell tárgyalásából továbbra is érvényes, hogy a Coulomb-erő tölti be a centipetális erő szerepét

\[ m_e \frac{v^2}{r} \equiv m_e \omega^2 r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \]

de az impulzusmomentum kvantálását most az atommag és az elektron összes impulzusmomentumára alkalmazzuk:

\[ m_e r_e^2 \omega + M r_M^2 \omega = n\hbar, \]

ahol \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az atommag tömege, \setbox0\hbox{$r_e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$r_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rendre az elektron és az atommag pályasugara a közös tömegközéppont körül, \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a közös keringési körfrekvencia.

A tömegközéppont definíciójából

\[ r_e = \frac{M}{m_e + M}, \qquad  r_M = \frac{m_e}{m_e + M}, \]

ahol \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektron és az atommag távolsága. Bevezetjük még a

\[ \mu = \frac{m_e M}{m_e + M} \]

redukált tömeget. Ezekkel a két egyenletünk:

\[ \mu r_n \omega_n^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2}, \]
\[ \mu r_n^2 \omega_n = n\hbar, \]

ami a Bohr-modellével megegyező egyenletrendszer, a kéttest korrekcióval javított energiaszintek a korábbi \setbox0\hbox{$E_n^* = -\frac{E_0}{n^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% módon számolhatók az új

\[ E_0^* = E_0 \frac{\mu}{m} = \frac{E_0}{1+\textstyle \frac{m_e}{M}} \approx E_0 \left(1- \frac{m_e}{M}\right) \]

ionizációs energiával, ahol \setbox0\hbox{$\frac{m_e}{M}\approx\frac{1}{1835}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Megjegyzés

Az \setbox0\hbox{$M\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határeset visszaadja a rögzített atommag esetét, a \setbox0\hbox{$^1_1\mathrm{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hidrogén, \setbox0\hbox{$^2_1\mathrm{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% deutérium és \setbox0\hbox{$^4_2\mathrm{He}^+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyszeresen ionizált héliumatomon végzett kísérletekben ez az izotópeffektus mérhető, az \setbox0\hbox{$n=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$n=3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gerjesztett állapotok közötti átmenethez tartozó hullámhosszok rendre \setbox0\hbox{$6562{,}8\,\mathrm{\AA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$6561{,}0\,\mathrm{\AA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$6560{,}2\,\mathrm{\AA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{\AA}=10^{-10}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%).

Hélium atomban a mérést a megfelelő energiaszintek közt kell elvégezni, mert rendszáma \setbox0\hbox{$Z=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így Coulomb-ereje is \setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szer nagyobb:

\[ E_n^\mathrm{He} = -Z^2 \frac{E_0}{n^2} = - E_0 \frac{1}{{n^*}^2}, \]

azaz \setbox0\hbox{$n^*=\frac{n}{Z}=2,3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresett hidrogénszerű állapothoz \setbox0\hbox{$n=4,6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gerjesztett állapotok tartoznak.