Kvantummechanikai bevezető példák - Izzólámpa látható tartományban kibocsátott teljesítménye

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy izzólámpában a volfrámszál hőmérséklete kb. \setbox0\hbox{$1800\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az emberi szem a \setbox0\hbox{$4-7\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámhossz tartományban lát. Becsülje meg az izzólámpa „hatásfokát”!

Megoldás

A Planck-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a \setbox0\hbox{$[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítmény

\[ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, \]

ahol bevezetjük az \setbox0\hbox{$x=\frac{h\nu}{kT}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változót, és kiszámítjuk az összes kisugárzott teljesítményt:

\[ \mathcal{E}_t = \int_0^\infty \mathcal{E}_\nu \mathrm{d}\nu     = \frac{8\pi}{c^2} \left(\frac{kT}{h}\right)^4 h \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, \]

ahol az integrál kifejezhető a Riemann-féle \setbox0\hbox{$\zeta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-függvénnyel, értéke \setbox0\hbox{$\Gamma(4)\zeta(4)\approx 6{,}5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A teljes térszögbe a kicsi látható \setbox0\hbox{$[\nu_0-\frac12\Delta\nu,\nu_0+\frac12\Delta\nu]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartományban felületegységenként kisugárzott teljesítményt közelíthetjük:

\[ \Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\nu_0} \Delta\nu, \]

ahol \setbox0\hbox{$\nu_0=6 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\Delta \nu=4 \cdot 10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% választással élünk (\setbox0\hbox{$c=\lambda\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\Delta\lambda=375\,\mathrm{nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% amikor a referenciaérték intervallumközép).

Ezekkel a „hatásfok”

\[ \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}_t}     = \frac{4,976 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}}{1,400 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}} = 3{,}55 \cdot 10^{-3} = 0{,}355\%. \]