Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás szabad elektronra

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e olyan effektus, hogy egy szabad elektron teljes egészében elnyel egy fotont (teljesen rugalmatlan ütközés)! Ennek fényében, hogyan magyarázható a fotoeffektus?

Megoldás

A Compton-szórásról szóló feladatban levezettük, hogy a foton által átadott energiahányad

\[ \eta = \frac{|\Delta E_f|}{E_f} = \frac{p_f c - p'_f c }{p_f c}     = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1}. \]

Abból a feltételből, hogy az elektron a foton minden energiáját elnyeli (\setbox0\hbox{$\eta=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$p'_f=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) következik, a szórási szögre, hogy \setbox0\hbox{$\cos \vartheta = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$\vartheta=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebből vagy az energia- és impulzusmegmaradásra felírt egyenletekből látszik, hogy \setbox0\hbox{$p_f=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak is teljesülnie kellene, azaz teljes energiaelnyelés csak akkor jöhet létre, ha a kezdeti foton energiája nulla, azaz nem volt elnyelt foton, nem történt szórás. Tehát szabad elektron nem nyelhet el teljes egészében egy fotont.

A fotoeffektusnál a fotont nem szabad elektron nyeli el, az energiamegmaradást ki kell egészíteni a kilépési munkával:

\[ p_f c + m_e c^2 = p'_f c + \sqrt{\left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2} + \Phi_0, \]

ahol \setbox0\hbox{$p'_f=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ \left(p_f c + m_e c^2 - \Phi_0 \right)^2 = \left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2. \]

Az impulzusmegmaradásból most

\[ p'_e = p_f, \]

amivel

\[ 2(p_f c)(m_e c^2) + \Phi_0^2 - 2 \Phi_0 (m_e c^2 + p_f c) = 0, \]
\[ p_f = \frac{\Phi_0^2 - 2 \Phi_0 m_e c^2}{2\Phi_0 c - 2 m_e c^3} \]

diszkrét impulzus adódik, azaz csak \setbox0\hbox{$\lambda=\frac{1}{k_f}=\frac{\hbar}{p_f}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámhosszú foton volna képes fotoeffektust kiváltani.

A fotoeffektus létrejöttét különböző (kellően nagy) frekvenciákra azzal magyarázhatjuk, hogy \setbox0\hbox{$\Phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a szükséges minimális kilépési munka, de a fémben levő elektronok mozognak, kinetikus energiájuk tágítja a spektrumot, továbbá a fém képes a felesleges energiát termikus gerjesztéssé disszipálni.