Termodinamika példák - Ideális gáz egy körfolyamata adiabatával

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Az ábrán a \setbox0\hbox{$T_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$T_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletekkel meghatározott körfolyamat látható. Mekkora annak a gépnek a hatásfoka, amelyik ezt a körfolyamatot mólnyi mennyiségű, adott \setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhőviszonyú ideális gázzal valósítja meg?
    Körfolyamat adiabatával.svgKörfolyamat adiabatával ötlet.svg

Megoldás

A hőerőgép hatásfoka

\[ \eta = \frac{\Delta W}{\Delta Q_\text{fel}}     = \frac{\Delta Q_\text{fel} - |\Delta Q_\text{le}|}{\Delta Q_\text{fel}}     = 1-\frac{|\Delta Q_\text{le}|}{\Delta  Q_\text{fel}}.\]

Adiabatától eltérő görbén mozgó rendszer, környezetével hőcserét végez. Jelen körüljárási iránnyal ez az izobár \setbox0\hbox{$CA$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakaszon \setbox0\hbox{$\Delta Q_\text{le}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőleadás, az izochor \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakaszon pedig \setbox0\hbox{$Q_\text{fel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőfelvétel:

\[ \Delta  Q_\text{le}=n C_p\left( T_C- T_A\right), \]
\[ \Delta  Q_\text{fel}=n C_V\left( T_B- T_A\right), \]

behelyettesítve a hatásfok definíciójába:

\[ \eta= 1-\gamma \frac{T_C-T_A}{T_B-T_A}. \]

\setbox0\hbox{$T_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t az adiabata egyenletéből a térfogat és a hőmérséklet segítségével kifejezhetjük:

\[ T_C V_2^{\gamma-1} = T_B V_1^{\gamma-1} \qquad \Rightarrow \qquad T_C = T_B{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}, \]

amit az izobár kompresszió \setbox0\hbox{$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_A}{T_C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétereinek ismeretében visszavezethetünk a megadott hőmérsékletekre:

\[ T_C^{\gamma }= T_B T_A^{\gamma -1}. \]

A hatásfok \setbox0\hbox{$T_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezését behelyettesítve:

\[ \eta =1-\gamma \frac{T_B^{\frac 1{\gamma }} T_A^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}- T_A}{T_B- T_A}=1-\gamma \frac{{\left(\frac{T_B}{T_A}\right)}^{\frac 1{\gamma }}-1}{\frac{T_B}{T_A}-1}.\]