Termodinamika példák - Van der Waals-gáz egyensúlyi hőmérséklete

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Állapotváltozás, I. főtétel
Feladatok listája:
  1. Állapotváltozások diagramjai
  2. Belső energia állapotváltozásokban
  3. Energiák fajhőviszonnyal
  4. Energiaváltozások diagramból
  5. Ideális gáz kompresszibilitásai
  6. Nyomás hőmérsékletfüggése
  7. Fűtött szoba belső energiája
  8. Térfogatváltozás fajhőviszonnyal
  9. Van der Waals-gáz egyensúlya
  10. Közelítő állapotegyenlet
  11. Állapotegy. mérh. menny.-ből
  12. Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Van der Waals-gázok belső energiájának térfogatfüggése az alábbi összefüggéssel adható meg:
    \[ U = c_V mT - \frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V},\]
    ahol \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a gáz tömege, \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a móltömeg, \setbox0\hbox{$c_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az állandó térfogaton mért fajhő, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó.
    Egy hőszigetelt tartályt rögzített, jó hővezető anyagból készített fal választ két részre, amelyekbe azonos tömegű Van der Waals-gázt vezettünk be. A kezdeti állapotjellemzők: \setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve \setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    • a) Mennyi lesz a végső egyensúlyi hőmérséklet?
    • b) Hogyan módosul a válasz, ha a gáz betöltése után az elválasztó falat rögtön kivesszük?

Megoldás

Az egész tartályt tekintve az összes \setbox0\hbox{$U=U_1+U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% belső energia állandó.

a) A hővezető fal megőrzi az egyes rekeszek térfogatát, de megengedi köztük a hőcserét, így a közös hőmérséklet kialakulását:

\[ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2}     = c_V m T-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2}. \]
Ebből egyszerűsítések után \setbox0\hbox{$T_1+T_2=2T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz a közös hőmérséklet
\[ T=\frac{T_1+T_2}{2}. \]

b) Ha kivesszük a válaszfalat, a gáz sűrűsége mindkét rekeszben azonos lesz, a végállapotban a \setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű gáz a \setbox0\hbox{$V=V_1+V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogatot tölti ki:

\[ c_V m T_1-\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V_1} + c_V m T_2-\frac{m^2}{M^2} \frac{a}{V_2}      = c_V 2m T-\frac{(2m)^2}{M^2}\frac{a}{V_1+ V_2}.\]

Egyszerűsítések

\[ T_1+ T_2-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 1{V_1}+\frac 1{V_2}\right) = 2T-\frac{ma}{c_V M^2}\left(\frac 4{V_1+ V_2}\right), \]

és közös nevezőre hozás után a közös hőmérséklet

\[ T=\frac{T_1+ T_2} 2-\frac{ma}{2 c_V M^2}\cdot \frac{{\left( V_2- V_1\right)}^2}{\left( V_1+ V_2\right) V_1 V_2}. \]