Termodinamika példák - Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Állapotváltozás, I. főtétel
Feladatok listája:
  1. Állapotváltozások diagramjai
  2. Belső energia állapotváltozásokban
  3. Energiák fajhőviszonnyal
  4. Energiaváltozások diagramból
  5. Ideális gáz kompresszibilitásai
  6. Nyomás hőmérsékletfüggése
  7. Fűtött szoba belső energiája
  8. Térfogatváltozás fajhőviszonnyal
  9. Van der Waals-gáz egyensúlya
  10. Közelítő állapotegyenlet
  11. Állapotegy. mérh. menny.-ből
  12. Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Fejezzük ki a \setbox0\hbox{$C_p-C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% különbséget \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a \setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőtágulási együttható segítségével!

Megoldás

A termodinamika első főtételébe (\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) behelyettesítve az \setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kétváltozós függvény teljes differenciálját

\[ \delta Q = \left[ p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] \,\mathrm{d}V + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T \]

összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel formálisan osztva és a mólhők definícióját alkalmazva

\[ C_p- C_V = \frac{1}{n} \left[ p + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \]

általános fajhőösszefüggéshez jutunk.

A Van der Waals-gáz belső energiáját leíró

\[ U = n C_V T - n^2\frac{a}{V} \]

képletből kiszámíthatjuk

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = \frac{n^2a}{V^2} \]

differenciálhányadost, és

\[ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \]

definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe:

\[ C_p-C_V = \frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p. \]

A

\[ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right) = nRT \]

Van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez kapunk:

\[ C_p-C_V = \frac{RT \beta_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}. \]