Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása

Feladat

1. Mennyi hő szabadul fel az $\setbox0\hbox{$\varepsilon_r(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.

Megoldás

A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat, az intenzív $\setbox0\hbox{$\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos térerősséget és extenzív $\setbox0\hbox{$\mathbf{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ polarizációt. Ezt legegyszerűbben a változócsere során megállapított analógia alapján tehetjük meg:

$\setbox0\hbox{$-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,
$\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\mathbf{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,
$\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U - \mathbf{E}\,\mathbf{\mathrm{d}P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Mivel a $\setbox0\hbox{$\varepsilon(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, $\setbox0\hbox{$\mathbf{E}\,\mathbf{\mathrm{d}P}=E\,\mathrm{d}P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):

$\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T\,\mathrm{d}P, \]$

ahol a második paramétert a változócseréről szóló feladatban levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:

$\[ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P + E. \]$

Mivel az elektromos teret állandó hőmérséklet mellet kapcsoljuk be, $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hő kifejezésében egyetlen tag marad:

$\[ \delta Q = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P \,\mathrm{d}P. \]$

A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\setbox0\hbox{$\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) definíciójából indulunk ki:

$\[ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, \]$

amiből

$\[ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T}. \]$

Ezzel

$\[ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \cdot P \,\mathrm{d}P, \]$

amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó (magas hőmérsékleten $\setbox0\hbox{$\varepsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valóban nem függ $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-től, azaz $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-től):

$\[ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \frac{P^2}{2}. \]$

Ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve

$\[ Q=-\frac12T\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}\varepsilon_0E^2V \]$

egyszerűbb alakot nyerjük.

Megjegyzés

Eredményünk az elektromos eltolás $\setbox0\hbox{$\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r(T)\mathbf{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciójával

$\[ Q=-\frac12\mathbf{DE}\frac{T}{\varepsilon_r(T)}\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}V \]$

vektoros alakban is érvényes.