Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként

Feladat

1. Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az $\setbox0\hbox{$U(S, V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényeként!

Megoldás

Először azt látjuk be, hogy minden állapotjelző megadható a belső energiával és természetes változóival. Az első főtételből

$\[ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V \]$

és $\setbox0\hbox{$U(S,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljes differenciáljából

$\[ \mathrm{d}U={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_V\,\mathrm{d}S+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_S\,\mathrm{d}V\]$

beazonosíthatjuk a két hiányzó állapotjelzőt:

$\[ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V=T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S=-p. \]$

Ezek után változócserével (Legendre-transzformációval) juthatunk a többi termodinamikai potenciálhoz:

$\[ H=U+pV=U-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S V, \]$

$\[ F=U-TS=U-\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V S \]$

és

$\[ G=U+pV-TS=U-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S V - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V S. \]$

Megjegyzés

Ezeket a számításokat a termodinamika differenciális összefüggéseiről szóló feladatban már elvégeztük, és ott adtunk utalást a kémiai potenciál kezelésére is. A feladatot $\setbox0\hbox{$U(S,V,N)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ háromváltozós függvényre

$\[ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V+\mu\,\mathrm{d}N \]$

összefüggéssel egészíthetjük ki, a megoldás alakjának értelmezésében pedig az említett feladatban nyert $\setbox0\hbox{$\mu = \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\mu = \frac{G(T,p)}{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ észrevétel segít.