Termodinamika példák - Állapotjelzők a térfogat és az entrópia függvényeként

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Az első főtétel és a termodinamika differenciálegyenletei felhasználásával mutassuk meg, hogy ha ismerjük egy állandó anyagmennyiségű rendszer belső energiáját a térfogat és az entrópia függvényeként (vagyis az \setbox0\hbox{$U(S, V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt), akkor a rendszer bármely állapotjelzője (nyomás, hőmérséklet, entalpia, stb.) megadható \setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényeként!

Megoldás

Először azt látjuk be, hogy minden állapotjelző megadható a belső energiával és természetes változóival. Az első főtételből

\[ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V \]

és \setbox0\hbox{$U(S,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% teljes differenciáljából

\[ \mathrm{d}U={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_V\,\mathrm{d}S+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_S\,\mathrm{d}V\]

beazonosíthatjuk a két hiányzó állapotjelzőt:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V=T, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S=-p. \]

Ezek után változócserével (Legendre-transzformációval) juthatunk a többi termodinamikai potenciálhoz:

\[ H=U+pV=U-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S V, \]
\[ F=U-TS=U-\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V S \]

és

\[ G=U+pV-TS=U-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S V - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V S. \]

Megjegyzés

Ezeket a számításokat a termodinamika differenciális összefüggéseiről szóló feladatban már elvégeztük, és ott adtunk utalást a kémiai potenciál kezelésére is. A feladatot \setbox0\hbox{$U(S,V,N)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% háromváltozós függvényre

\[ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S-p\,\mathrm{d}V+\mu\,\mathrm{d}N \]

összefüggéssel egészíthetjük ki, a megoldás alakjának értelmezésében pedig az említett feladatban nyert \setbox0\hbox{$\mu = \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\mu = \frac{G(T,p)}{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% észrevétel segít.