Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Állandó anyagmennyiségű homogén rendszerben termikus és mechanikai kölcsönhatás esetén fennáll a \setbox0\hbox{$\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenlet. A fenti egyenlet levezetésének mintájára bizonyítsuk be, hogy ha a termikus kölcsönhatás mellett tetszőleges – \setbox0\hbox{$X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intenzív- és \setbox0\hbox{$\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% extenzív mennyiségpárral jellemzett – kölcsönhatás lép fel, akkor a fenti egyenlet érvényes marad, ha végrehajtjuk a \setbox0\hbox{$p\to-X$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$V\to\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változócserét!

Megoldás

Az első főtétel az új változókkal

\[ T\,\mathrm{d}S=\,\mathrm{d}U-X\,\mathrm{d}\xi. \]

Az \setbox0\hbox{$U(S,\xi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény teljes differenciálja

\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T \,\mathrm{d}\xi, \]

aminek segítségével

\[ \mathrm{d}S = \frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \,\mathrm{d}T    + \frac{1}{T} \left( \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T - X \right) \,\mathrm{d}\xi. \]

A Young-tétel szerint \setbox0\hbox{$S(T,\xi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vegyes második parciális deriváltjai egyenlőek:

\[ \frac{\partial}{\partial \xi} \left(\frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\xi \right)     = \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T - \frac{X}{T} \right), \]
\[ \frac{1}{T} \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial T}     = -\frac{1}{T^2}\frac{\partial U}{\partial \xi} + \frac{1}{T} \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial T}      -\frac{1}{T} \frac{\partial X}{\partial T} + \frac{X}{T^2}, \]

azaz \setbox0\hbox{$T^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tel való szorzás után

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. \]

Természetesen a levezetés \setbox0\hbox{$X=-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\xi=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben is igaz.

Másik bizonyítás

Az első főtétel az új változókkal

\[ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S + X\,\mathrm{d}\xi \]

felírt alakját osszuk le formálisan \setbox0\hbox{$\mathrm{d}\xi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel állandó hőmérsékleten:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial \xi}\right)_T + X, \]

ahol használjuk az új változókban \setbox0\hbox{$U(S,\xi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% teljes differenciálból levezethető

\[ \left(\frac{\partial S}{\partial \xi}\right)_T = -\left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi \]

Maxwell-relációt:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)_T = X - T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_\xi. \]

Természetesen a levezetés \setbox0\hbox{$X=-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\xi=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben is igaz.