Termodinamika példák - Hőmérsékletváltozás mérhető mennyiségekkel adiabatikus tágulásban

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Homogén rendszerek
Feladatok listája:
  1. TD diffegyenletek
  2. Maxwell-relációk
  3. Általános változócsere
  4. dT(S=áll) mérhetőkkel
  5. TdS mérhetőkkel
  6. Állapotjelzők (V,S) fv-ei
  7. dS(p=áll) mérhetőkkel
  8. Potenciálok állapotegyenletből
  9. Gumiszalag TD potenciáljai
  10. Dielektromos polarizáció
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Fejezzük ki mérhető mennyiségekkel (hőtágulási együttható, kompresszibilitás, mólhő) egy rendszer \setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklet-változását, ha térfogata adiabatikus, kvázisztatikus folyamat során \setbox0\hbox{$\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel megváltozik! Mutassuk meg, hogy \setbox0\hbox{$4 \,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alatt a víz adiabatikus, kvázisztatikus összenyomáskor lehűl!

Megoldás

Az első főtétel

\[ \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V \]

adiabatikus folyamatra egyszerűsödik:

\[ \mathrm{d}U = - p\,\mathrm{d}V. \]

Ezt egyenlővé téve \setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V\]

alakú teljes differenciáljával és felhasználva \setbox0\hbox{$C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% definíciót

\[ -p\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\mathrm{d}V \]

egyenletet kapjuk.

Az általános változócseréről szóló feladatból ismerjük (vagy egy következő feladat alapján kifejezhetjük) a belső energia térfogatfüggésére vonatkozó differenciális összefüggést:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p,\]

így az egyenletünk

\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T+T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\,\mathrm{d}V. \]

A nyomás hőmérsékletfüggéséről szóló feladat

\[ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T} \]

eredményét felhasználva:

\[ 0 = C_V\,\mathrm{d}T + T\frac{\beta_p}{\kappa_T}\,\mathrm{d}V, \]

amiből

\[ \mathrm{d}T = -T\frac{\beta_p}{\kappa_T C_V}\,\mathrm{d}V. \]

\setbox0\hbox{$  T_\text{víz} < \left(273+4\right)\,\mathrm{K} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten a víz hőtágulási együtthatója negatív (\setbox0\hbox{$ -\beta_p > 0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), ezért adiabatikus összenyomásra (\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a hőmérsékletváltozás

\[ \mathrm{d}T < 0, \]

hiszen a többi tényező pozitív.