Termodinamika példák - Gumiszalag termodinamikai potenciáljai

Feladat

1. Egy gumiszalag állapotegyenlete $\setbox0\hbox{$f=aT\left({\textstyle \frac{\ell}{\ell_0}}-{\left({\textstyle \frac{\ell_0}{\ell}}\right)}^2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakba írható, ahol $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szalagban fellépő húzóerő nagysága, $\setbox0\hbox{$\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szalag hossza, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hőmérséklet, $\setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szalag erőmentes hossza, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pozitív állandó.
   • a) Mutassuk ki, hogy a belső energia nem függ a szalag hosszától!
   • b) Írjuk fel a termodinamika fundamentális egyenletét, továbbá a szabad energia és a szabad entalpia megváltozását a gumiszalagra!
   • c) Mekkora munkát végzünk, és mennyi a gumiszalag által leadott hő, ha a szalag hosszát izotermikus, reverzíbilis folyamatban $\setbox0\hbox{$\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$2\ell_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra növeljük.
   • d) Igazoljuk, hogy a gumiszalag hőmérséklete megnő, ha adiabatikusan megnyújtjuk!

Megoldás

a) Az általános változócseréről szóló feladatban tárgyaltak szerint a belső energia térfogatfüggésére $\setbox0\hbox{$p\to -f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V\to\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ általános változócserével belátható, hogy

$\[ \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T = f - T \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_\ell = f - T \frac{f}{T} = 0, \]$

ahol a második átalakítás a kijelölt deriválás elvégzésével adódott.

b) $\setbox0\hbox{$p\to -f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V\to\ell$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ általános változócserét alkalmazva

$\[ \mathrm{d}U=T\,\mathrm{d}S+f\,\mathrm{d}\ell, \]$

amiből Legendre-transzformációval

$\[ \mathrm{d}F = \mathrm{d}\left(U-TS\right) = f\,\mathrm{d}\ell-S\,\mathrm{d}T \]$

és

$\[ \mathrm{d}G = \mathrm{d}\left(U-TS-f\ell\right) = -\ell\,\mathrm{d}f-S\,\mathrm{d}T. \]$

c) Az első főtétel értelmében

$\[ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, \]$

ahol a) részben beláttuk, hogy ebben a speciális esetben a állandó hőmérsékleten $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem függ a szalag hosszától, azaz $\setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U = 0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \delta Q= -\mathrm{d}W= - f \,\mathrm{d}\ell \]$

A nyújtás hatására ($\setbox0\hbox{$\mathrm{d}\ell>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a gumiszalag hőt ad le:

$\[ \Delta Q= -\Delta W = -\int_{\ell_0}^{2\ell_0} f\,\mathrm{d}\ell = \int_{\ell_0}^{2\ell_0} aT\left( \left(\frac{\ell_0}{\ell}\right)^2-\frac{\ell}{\ell_0}\right)\,\mathrm{d}\ell = aT \left[-\frac{\ell_0^2}{\ell}-\frac{\ell^2}{2 \ell_0}\right]_{\ell_0}^{2 \ell_0} = -aT \ell_0\]$

d) Az első főtétel értelmében

$\[ \mathrm{d}U = \delta Q + \mathrm{d}W, \]$

ahol adiabatikus esetben $\setbox0\hbox{$ \delta Q=0 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így

$\[ \mathrm{d}U = f\,\mathrm{d}\ell. \]$

Másrészt definíció szerint

$\[ \mathrm{d}U = C_\ell\,\mathrm{d}T, \]$

amiből

$\[ \left(\frac{\partial T}{\partial \ell}\right)_S = \frac f{C_\ell}. \]$

Természetesen $\setbox0\hbox{$f>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$C_\ell>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és megnyújtáskor $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}\ell>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezért $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megjegyzés

Az állandó hosszon mért hőkapacitás definíciójához

$\[ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial \ell}\right)_T\,\mathrm{d}\ell \]$

teljes differenciálból juthatunk $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}\ell=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetben:

$\[ C_\ell = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_\ell. \]$