Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú, nagy felületű, homogén anyagréteg két ellentétes felületén a hőmérséklet állandó \setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az anyag hővezetési tényezője hőmérséklet- és helyfüggetlen. A hővezetés alapegyenlete segítségével mutassuk ki, hogy a rétegben a hőmérséklet lineárisan változik az egyik felülettől mért \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolsággal, és írjuk fel a \setbox0\hbox{$T(z)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt a megadott mennyiségekkel!

Megoldás

A \setbox0\hbox{$j_z=-\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőáramsűrűségre felírt egyenletet vonatkoztassuk most egy rögzített \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetre, így a \setbox0\hbox{$J_Q=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőáramot (\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületen átadott hőteljesítményt) kapjuk:

\[ \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = -\lambda A \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}. \]

Stacionárius esetben hő nem halmozódhat fel, \setbox0\hbox{$J_Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó minden az eredeti két felülettel párhuzamos keresztmetszetre, bármely \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságban legyen is az. Mivel a keresztmetszet \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagysága állandó, \setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is állandó, aminek általános megoldása \setbox0\hbox{$T(z) = T_0 + c_T z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lineáris függvény.

A \setbox0\hbox{$T(0)=T_1,\,T(d)=T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% peremfeltételekre illesztve a hőmérsékletprofil

\[ T(z) = T_1+\frac{T_2-T_1}{d}z. \]