Termodinamika példák - Diffúzió és belső súrlódás

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Hogyan változik az ideális gáz \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% diffúziós állandója és \setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% belső súrlódási együtthatója, ha a gáz térfogata \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szersére nő
    • a) állandó hőmérsékleten,
    • b) állandó nyomáson?

Megoldás

A diffúzióállandó értéke (vö. Fick I. törvénye szerint \setbox0\hbox{$\langle J \rangle  = -D \frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a részecskeáram-sűrűség)

\[ D = \frac13 \langle l \rangle \langle v \rangle  \]

képlettel az \setbox0\hbox{$\langle l \rangle =\frac1{\sqrt{2}\, n_V \sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% átlagos szabad úthosszból és a \setbox0\hbox{$\langle v \rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% átlagos molekulasebességből határozható meg.

A viszkozitás (vö. a Newton-féle súrlódási törvényből \setbox0\hbox{$\langle \tau \rangle = \eta \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a nyíróerő)

\[ \eta = -\frac13 \langle l \rangle  \langle v \rangle  n_V \mu \]

módon számolható, ahol \setbox0\hbox{$n_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a molekulaszám-sűrűség, \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a molekulák tömege.

Ezek alapján a két mennyiség \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változókkal kifejezve rendre

\[ D(T,V) = \frac13 \frac{V}{\sqrt{2}\, N \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}     = \frac{2}{\sigma} \frac{V}{N} \sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} \]

és

\[ \eta(T,V) = -\frac13 \frac1{\sqrt{2}\, \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} \,\mu     = - \frac2{ 3\sigma} \sqrt{\frac{kT\mu}{\pi}}. \]


a) Állandó hőmérsékleten

\[ D \propto V, \]
\[ \eta \propto 1. \]

A diffúziós együttható \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére nől, a viszkozitás állandó marad.

b) Állandó nyomáson az ideális gáz állapotegyenletéből kifejezzük a hőmérséklet nyomásfüggését:

\[ pV = NkT \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{T} \propto \sqrt{pV}, \]

azaz

\[ D \propto V^{3/2}, \]
\[ \eta \propto \sqrt V. \]

A diffúziós együttható \setbox0\hbox{$n^{3/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére, a viszkozitás \setbox0\hbox{$\sqrt{n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére nől.