Termodinamika példák - Dielektromos polarizáció termodinamikai vonatkozása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Termodinamika - Homogén rendszerek]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Termodinamika - Homogén rendszerek
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Mennyi hő szabadul fel az $\varepsilon_r(T)$ dielektromos állandójú dielektrikum polarizációjakor, ha a külső elektromos tér nagyságát állandó hőmérsékleten, kvázi-stacionáriusan növeljük nulláról egy nem túl nagy $E$ értékre? A térfogatváltozás elhanyagolható.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk az I. főtétel $\mathrm{d}U=\delta Q+E\mathrm{d}P$ alakját, az $U(P, T)$ függvény teljes differenciálját, és azt, hogy a belső energia térfogatfüggésére kapott általános összefüggés átírható erre az esetre is a dielektrikum teljes dipólusmomentuma ($P$) segítségével a $-p\longrightarrow E$ és $V\longrightarrow P$ helyettesítéssel: ${\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)}_ T=E-T{\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)}_P$. Alkalmazzuk még a $P={\varepsilon}_0\left(\varepsilon_r-1\right)EV$ összefüggést is!}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$Q=-\frac12T\varepsilon_0V\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}E^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>A felszabaduló hőt a termodinamika első főtételének segítségével tudjuk kifejezni, ahol be kell vezetnünk a munkavégzésre képes új konjugált változókat. Az intenzív $\mathbf{E}$ elektromos térerősséget és extenzív $\mathbf{P}$ polarizációt, ezt legegyszerűbben a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócsere]] során megállapított analógia alapján tehetjük meg:
{| style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| align="right" | $-p$ || $\longrightarrow$ || $\mathbf{E}$,
|-
| align="right" | $V$ || $\longrightarrow$ || $\mathbf{P}$
|-
| align="right" | $\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$ || $\longrightarrow$ || $\delta Q = \mathrm{d}U - \mathbf{E}\mathbf{\mathrm{d}P}$
|}
Mivel a $\varepsilon(T)$ dielektromos állandó skalár, azért az elektromos térerősség és a polarizáció egymással párhuzamos, $\mathbf{E}\mathbf{\mathrm{d}P}=E\mathrm{d}P$.
A hő kifejezéséhez meg kell adnunk a belső energia megváltozását teljes differenciálként a két ismert paraméter, a hőmérséklet és a polarizáció segítségével (a feladat szerint a térfogatváltozást elhanyagolhatjuk):
$$ \mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T\mathrm{d}P, $$
ahol a második paramétert a [[Termodinamika példák - További differenciális összefüggések, általános változócsere|változócseréről szóló feladatban]] levezetett általános képlet alapján felírhatjuk:
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P + E. $$
Mivel az elektromos teret álandó hőmérséklet mellet kapcsoljuk be, $\mathrm{d}T=0$, a hő kifejezésében egyetlen tag marad:
$$ \delta Q = -T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}P. $$
A differenciálhányados kiszámításához az elektromos teret meg kell adnunk a hőmérséklet és a polarizáció függvényeként. Ehhez az összefüggéshez a polarizáció ($\text{polarizációsűrűség}\times\text{térfogat}) definíciójából indulunk ki:
$$ P = \varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)E\,V, $$
amiből
$$ E(T,P) = \frac{P}{\varepsilon_0\left(\varepsilon_r(T)-1\right)V} \qquad \text{és} \qquad 
   \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_P = - \frac{P}{\varepsilon_0V} \frac{1}{\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial T} $$
Ezzel
$$ \delta Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \cdot P \mathrm{d}P, $$
amit állandó hőmérsékleten integrálhatunk, mert akkor az első tényező is állandó
$$ Q = \frac{T}{\varepsilon_0V\left(\varepsilon_r(T)-1\right)^2} \frac{\partial \varepsilon_r(T)}{\partial T} \frac{P^2}{2}, $$
ide a polarizáció definícióját visszahelyettesítve
$$ Q=-\frac12T\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}\varepsilon_0E^2V $$
egyszerűbb alakot kapjuk.

== Megjegyzés ==
Eredményünk az elektromos eltolás $\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r(T)\mathbf{E}$ definíciójával
$$ Q=-\frac12\mathbf{DE}\frac{T}{\varepsilon_r(T)}\frac{\mathrm{d}\varepsilon_r(T)}{\mathrm{d}T}V $$
vektoros alakban is érvényes.
</wlatex>
</noinclude>