3. Mérés: RC-körök vizsgálata forrásának megtekintése

<wlatex>

[[Kategória:Fizika BSC alapképzés]]
[[Kategória:Laborgyakorlat]]
[[Kategória:Fizika Tanszék]]
[[Kategória:Szerkesztő:Halbritt]]
[[Kategória:Szerkesztő:Bordacs]]

__TOC__

==Elméleti összefoglaló==

===Időben harmonikusan változó jel===
{|
|- 
| Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [http://physics.bme.hu/BMETE11AF42_kov]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy $T$ periodus idővel változó, $f$=1/$T$ frekvenciájú feszültség jel látható. Ha a jel amplitúdója $U_0$ és fázisa $\varphi$, az időfüggést az alábbi alakban adhatjuk meg:

$$ U(t)=U_0cos(2\pi ft+\varphi).$$

Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\omega$=2$\pi f$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet:

$$ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^{i\varphi} e^{i\omega t}.$$

A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $U_0$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\omega t+\varphi$ állandó szögsebességgel fordul körbe.  
| [[File:Uosc.jpg|225px|thumb|right|Általános időben harmonikusan változó feszültség]]
|}


===Lineáris áramköri elemek===

{|
|- 
| Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső feszültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás:

$$ U=RI $$

Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg
 
$$ I=I_0e^{i\omega t}, $$

melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége:

$$ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. $$

Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $U_0$=$RI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki.

| [[File:ZR.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai ohmikus ellenállás esetén.]]
|}

{|
|- 
| Egy $L$ induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg:

$$ U=L\frac{dI}{dt}. $$

Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg
 
$$ I=I_0e^{i\omega t}, $$

melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség:

$$ Ue^{i\omega t}=i\omega LI_0e^{i\omega t}. $$

Tehát a feszültség fázisa $\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\omega LI_0$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $Z_L$=$i\omega L$. 

| [[File:ZL.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai tekercs esetén.]]
|}

{|
|- 
| A $C$ kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy

$$ Q=CU. $$

Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk:

$$ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, $$

hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti:

$$ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. $$

Tehát a feszültség fázisa -$\frac{\pi}{2}$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $U_0$=$\frac{I_0}{\omega C}$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $Z_C$=$\frac{1}{i\omega C}$. 

| [[File:ZC.jpg|400px|thumb|right|Áram és feszültség jelek fázis viszonyai kondenzátor esetén.]]
|}

===Soros RC kör===

{|
|- 
| Az ábrán látható soros RC körrel vizsgálhatjuk egy $C$ kapacitású kondenzátor feltöltődését és kisülését. Ha hosszú időn keresztül véges $U$ feszültséget kapcsolunk a körre a kondenzátor feltöltődik. Ezt követően, t=0 időpillanatban a kapcsolót átkapcsolva rövidre zárjuk az áramkört, azaz a bemeneti pontok azonos feszültségre kerülnek: 

$$ U_R+U_C=0. $$

Ekkor a kondenzátor fegyverzetein tárolt töltések átáramlanak az ellentétes fegyverzetre, hogy az új egyensúly elérését követően nulla feszültség essen a bemeneten (és a kondenzátoron is). Ezt az áramot például a fenti egyenlet deriválásával számíthatjuk ki:

$$ \frac{dU_R}{dt}+\frac{dU_C}{dt}=R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0. $$

Tehát az áramkörben folyó időfüggő áram az alábbi differenciálegyenletet elégíti ki:

$$ \frac{dI}{dt}=-\frac{I}{RC}. $$

Az $RC$ szorzat láthatóan idő dimenziójú, érdemes bevezetni a $\tau$=$RC$ időállandót. Az exponenciális függvény kielégíti a fenti egyenletet, hiszen deriváltja szintén exponenciális:

$$ I=I_0e^{-t/\tau}, $$

ahol $I_0$ később meghatározandó állandó. (Ellenőrizzük, hogy ez a függvény valóban megoldása a fenti differenciálegyenletnek!) Az integrálási állandó meghatározásához használjuk fel, hogy t=0 idő pillanatban ismert $U$ feszültségre volt feltöltve a kondenzátor, tehát az $Q$=$CU$ töltést tárolt. A kapcsoló átfordítása után átfolyó töltésmennyiségnek egyenlőnek kell lennie a tárolt töltéssel:
$$ Q=\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}dt= -I_0\tau e^{-\infty/\tau}+I_0\tau e^{0/\tau}=I_0\tau. $$

| [[File:RC_switch.jpg|250px|thumb|right|Soros RC kör kisülése]]
|}


{|
|- 
| Megvizsgálhatjuk a soros RC kör harmonikus meghajtásra adott válaszát is. Például a meghajtó $U_{be}$ feszültség $U_{ki}$=$U_C$ kondenzátor feszültségre gyakorolt hatását. Az eszközökön eső feszültség a meghajtó feszültséggel lesz egyenlő:

$$ U_R+U_C=U_{be}. $$

Az impedanciáról tanultakat felhasználva

$$ U_{be}=RI+Z_CI, $$
$$ U_{ki}=Z_CI=\frac{Z_C}{R+Z_C}U_{be}=\frac{1}{i\omega RC+1}U_{be}=\frac{1}{i\omega\tau+1}U_{be}. $$

| [[File:RC.png|250px|thumb|right|Soros RC kör]]
|}

{|
|- 
| Az amplitúdók arányát és a fáziskülönbséget az alábbi arány számításával határozhatjuk meg:

$$ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{\vert U_{ki}\vert}{\vert U_{be}\vert} e^{\varphi_{ki}-\varphi_{be}}. $$

Az amplitúdóarányt az alábbi Lorentz görbe adja meg:

$$ \frac{\vert U_{ki}\vert^2}{\vert U_{be}\vert^2}=\frac{1}{1+(\omega\tau)^2}. $$

Tehát 1/$\tau$ körfrekvencia alatt a feszültség nagyrészt a kapacitáson esik, míg nagyobb frekvenciákon az impedanciája és a rajta eső feszültség is lecsökken. A fáziskülönbséghez a komplex szám fázisát kell meghatározni:

$$ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{1-i\omega\tau}{1+(\omega\tau)^2}. $$

A fázisszöget a képzetes és valós rész hányadosa adja meg:

$$ tg(\varphi)=-\omega\tau. $$
| [[File:RC_trans.jpg|250px|thumb|right|Amplitúdóarány és fáziskülönbség frekvencia függése soros RC körben.]]
|}

==Mérési feladatok==

'''1. Feladat''' A próbapanelen állítsuk össze az alábbi kapcsolást. Az R ellenállás legyen 10 k$\Omega$, a C kapacitás pedig az ismeretlen, barna áramköri elem. U$_{be}$ bemenetre csatlakoztassuk a myDAQ mérőkártya AO 0 illetve AGND (referencia pont) kimenetét, és a függvénygenerátor segítségével kapcsoljunk a bemenetre f=1 kHz frekvenciájú, V$_{pp}$=1 V-os szinusz jelet. A bemeneti és a kondenzátoron eső U$_{ki}$ kimeneti feszültséget kapcsoljuk a mérőkártya AI 0+, AI 0- és AI 1+, AI 1- csatlakozói közé. Az oszcilloszkóp mindkét csatornáját kapcsoljuk be, majd állítsuk be a feszültségerősítést, időosztást valamint a triggert.

Rögzítsük mindkét csatornán a feszültség időfüggését, majd az oszcilloszkóp program STOP gombjának megnyomása után, a LOG gomb segítségével mentsük el a mért jelalakokat. A MATLAB segítségével olvassuk be a jeleket. Az ASCII file-ból olvassuk le az időtengely lépésközét. (Figyelem, az oszcilloszkóp időalapjának változtatásával változik a skálázás is!) Illesszünk szinusz görbét, és az illesztésből határozzuk meg a két jel amplitúdójának arányát, illetve a fázisuk különbséget. Számítsuk ki az ismeretlen C kapacitást és becsüljük meg a mérés hibáját. Végezzük el a fenti mérést 100 Hz-en, 330 Hz-en, 3.3 kHz-en és 10 kHz-en is. A mért amplitúdó arányokat és fáziskülönbségeket a frekvencia logaritmusának függvényében ábrázoljuk. Miért nevezik ezt a kapcsolást aluláteresztő szűrőnek?

'''2. Feladat'''
Vizsgáljuk tovább a fenti áramkört! A bemeneti pontokra f=100 Hz frekvenciájú négyszögjelet kapcsoljunk. Az oszcilloszkóp beállítása után, mentsük el a kimeneti jelet. A kisülési görbékre exponenciális függvényt illesztve határozzuk meg az időállandót, majd számítsuk ki a C kapacitás értékét ezzel a módszerrel is.

</wlatex>