Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája 
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben homogén $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
A töltéselrendezés energiájához ismernünk kell a térerősséget a tér minden pontjában. Először a gömbön belül határozzuk meg a teret. Felveszünk egy $r<R$ sugarú gömbfelületet, melynek centruma egybe esik a töltött gömbével. Meghatározzuk, mekkora töltést zár magába az $r$ sugarú zárt felület:

$$Q=\dfrac{4}{3}r^3 \pi \rho$$

A zárt felületre felírjuk a Gauss törvényt:

$$\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}$$

A rendszer gömbszimmetriája miatt az $r$ sugarú felület minden pontjában azonos $E$ nagyságú térerősséget mérhetünk, továbbá kijelenthetjük, hogy a térerősség vektorok minden pontban merőlegesek a felületre. Így a Gauss integrál jelentősen egyszerűsödik:

$$\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}=4r^2\pi E$$

Ebből kifejezve $E$-t, megkapjuk a térerősség nagyságát a gömb belsejében a centrumtól mért $r<R$ távolság függvényében:

$$E_{bent}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}r$$

A gömbön kívüli teret ($r>R$) szintén a Gauss törvény segítségével határozhatjuk meg:

$$E_{kint}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}$$

Itt $Q$ a gömb teljes töltését jelenti:

$$Q=\dfrac{4 R^3 \pi \rho}{3}$$

Tehát a gömbön kívüli tér nagysága:

$$E_{kint}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}\dfrac{R^3}{r^2}$$

Az elektromos tér energiasűrűsége az alábbiak szerint definiálható:

$$w=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$

A tér teljes energiája az energiasűrűség integrálja a teljes térre:

$$W=\int w dV=\dfrac{\varepsilon_0}{2} \left( \int_0^R E_{bent}^2 4\pi r^2 dr +  \int_R^{\infty} E_{kint}^2 4\pi r^2 dr \right)$$

$$W=4\pi \dfrac{\varepsilon_0}{2} \left( \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \right)^2 \left( \int_0^R r^2  r^2 dr +  \int_R^{\infty} \left( \dfrac{R^3}{r^2} \right)^2 r^2 dr \right)$$

$$W= \dfrac{2 \rho^2 \pi}{9 \varepsilon_0}  \left( \int_0^R r^4 dr +  \int_R^{\infty}  \dfrac{R^6}{r^2} dr \right)= \dfrac{2 \rho^2 \pi}{9 \varepsilon_0}  \left(  \dfrac{R^5}{5}  +    \dfrac{R^6}{R} \right)$$

$$W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}$$
</wlatex>
</noinclude>