Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbben homogén $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!

Megoldás

A töltéselrendezés energiájához ismernünk kell a térerősséget a tér minden pontjában. Először a gömbön belül határozzuk meg a teret. Felveszünk egy $\setbox0\hbox{$r<R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbfelületet, melynek centruma egybe esik a töltött gömbével. Meghatározzuk, mekkora töltést zár magába az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú zárt felület:

$\[Q=\dfrac{4}{3}r^3 \pi \rho\]$

A zárt felületre felírjuk a Gauss törvényt:

$\[\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}\]$

A rendszer gömbszimmetriája miatt az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú felület minden pontjában azonos $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú térerősséget mérhetünk, továbbá kijelenthetjük, hogy a térerősség vektorok minden pontban merőlegesek a felületre. Így a Gauss integrál jelentősen egyszerűsödik:

$\[\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}=4r^2\pi E\]$

Ebből kifejezve $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t, megkapjuk a térerősség nagyságát a gömb belsejében a centrumtól mért $\setbox0\hbox{$r<R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében:

$\[E_{bent}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}r\]$

A gömbön kívüli teret ($\setbox0\hbox{$r>R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) szintén a Gauss törvény segítségével határozhatjuk meg:

$\[E_{kint}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\]$

Itt $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gömb teljes töltését jelenti:

$\[Q=\dfrac{4 R^3 \pi \rho}{3}\]$

Tehát a gömbön kívüli tér nagysága:

$\[E_{kint}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}\dfrac{R^3}{r^2}\]$

Az elektromos tér energiasűrűsége az alábbiak szerint definiálható:

$\[w=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\]$

A tér teljes energiája az energiasűrűség integrálja a teljes térre:

$\[W=\int w dV=\dfrac{\varepsilon_0}{2} \left( \int_0^R E_{bent}^2 4\pi r^2 dr + \int_R^{\infty} E_{kint}^2 4\pi r^2 dr \right)\]$

$\[W=4\pi \dfrac{\varepsilon_0}{2} \left( \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \right)^2 \left( \int_0^R r^2 r^2 dr + \int_R^{\infty} \left( \dfrac{R^3}{r^2} \right)^2 r^2 dr \right)\]$

$\[W= \dfrac{2 \rho^2 \pi}{9 \varepsilon_0} \left( \int_0^R r^4 dr + \int_R^{\infty} \dfrac{R^6}{r^2} dr \right)= \dfrac{2 \rho^2 \pi}{9 \varepsilon_0} \left( \dfrac{R^5}{5} + \dfrac{R^6}{R} \right)\]$

$\[W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}\]$