Elektrosztatika példák - Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
Feladatok listája:
  1. Gömbkondenzátor kapacitása
  2. R sugarú fémgömb kapacitása
  3. Hengerkondenzátor kapacitása
  4. Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása
  5. Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  6. Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása
  7. Fémgömbből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  8. Síkkondenzátoron végzett munka
  9. Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mekkora két azonos , \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra helyezkednek el? (\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)

Megoldás



Legyen \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltése az egyik, \setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltése a másik fémgömbnek. Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű gömb által keltett teret az \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság függvényében:

\[E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\]


A \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására \setbox0\hbox{$U_{AB1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Mivel a gömbfelületek külön-külön ekvipotenciális felületek, emiatt a két gömbfelületnek bármely két pontja között azonos a feszültség. Az \setbox0\hbox{$U_{AB1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontok között:

KFGY2-4-4.png
\[U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b+a}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{b+a} \dfrac{1}{r^2} dr=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)\]

A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, \setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű gömb által az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontok között létrehozott \setbox0\hbox{$U_{AB2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett \setbox0\hbox{$U_{AB1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbséggel. (\setbox0\hbox{$U_{AB1}=U_{AB2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege:

\[U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)\]


A rendszer kapacitása:

\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)}\]