Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
Feladatok listája:
  1. Gömbkondenzátor kapacitása
  2. R sugarú fémgömb kapacitása
  3. Hengerkondenzátor kapacitása
  4. Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása
  5. Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  6. Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása
  7. Fémgömbből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  8. Síkkondenzátoron végzett munka
  9. Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Két azonos, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszeti sugarú, \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú hengeres vezeték fekszik egymás mellett párhuzamosan, egymástól \setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra. Mekkora a rendszer kapacitása? (\setbox0\hbox{$l>>b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)

Megoldás


KFGY2-4-4uj.png

Legyen \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületi töltéssűrűség az egyik, \setbox0\hbox{$-\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületi töltéssűrűség a másik hengeren.

Először próbáljuk meghatározni kizárólag az \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssűrűségű hengerfelület által keltett elektromos teret. Ehhez vegyünk fel egy \setbox0\hbox{$a<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú hengerfelületet, melynek tengelye egybe esik a fémhenger tengelyével. A hengerfelület által bezárt töltés mennyisége könnyen kiszámítható, hiszen az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú fémhenger \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú darabját zárja be. Tehát a bezárt töltés:

\[Q=2\pi a l \omega\]

A bezárt \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés ismeretében felírhatjuk az \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerfelületre a Gauss-törvényt:

\[\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{2\pi a l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}\]

Az elrendezés hengerszimmetriája miatt az elektromos térerősség vektora mindenütt merőleges az \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerpalást felületére, és nagysága is mindenütt megegyező, ezért az integrál a következőképp egyszerűsödik:

\[\dfrac{2\pi a l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}=2\pi r l E\]

Kifejezve \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t, megkapjuk a térerősséget a kondenzátor tengelyétől mért távolság függvényében:

\[E_{(r)}=\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0}\dfrac{1}{r}\]

Az \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületi töltéssűrűséggel rendelkező henger által keltett tér hatására \setbox0\hbox{$U_{AB1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbség jön létre az 1. ábrán látható A és B pontok között. Fontos megjegyezni, hogy mivel mindkét henger felület külö-külön ekvipotenciális felület, emiatt ez a feszültség a hengerfelületek bármely két pontja közt ugyanakkora. Az \setbox0\hbox{$U_{AB1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% meghatározható, ha az \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületi töltéssűrűséggel rendelkező henger elektromos terét integráljuk \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontok között, ahol \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont a tengelyekre merőlegesen illesztett vízszintes koordinátatengely \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátájában (az origoban van a bal oldali henger tengelye), \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont pedig a \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátában helyezkedik el:

\[U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b}E_{(r)}dr=-\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0} \int_{a}^{b} \dfrac{1}{r} dr=\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)\]

A két hengerből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, \setbox0\hbox{$-\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssűrűségű henger által az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontok között létrehozott \setbox0\hbox{$U_{AB2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbség megegyezik az első henger által keltett \setbox0\hbox{$U_{AB1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbséggel. (\setbox0\hbox{$U_{AB1}=U_{AB2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két hengerfelület között mért potenciálkülönbség az egyes hengerek által keltett potenciálkülönbségek összege:

\[U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)\]


A rendszer kapacitása:

\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{Q=2\pi a l \omega}{\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}\]