Elektrosztatika példák - Fémgömbből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
Feladatok listája:
  1. Gömbkondenzátor kapacitása
  2. R sugarú fémgömb kapacitása
  3. Hengerkondenzátor kapacitása
  4. Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása
  5. Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  6. Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása
  7. Fémgömbből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  8. Síkkondenzátoron végzett munka
  9. Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mekkora annak a rendszernek a kapacitása, amely egy \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú fémgömbből, valamint ennek középpontjától \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra elhelyezett végtelen vezető síkból áll? (\setbox0\hbox{$d>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)

Megoldás



Induljunk ki az előző, Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása feladat megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra levő \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömb kapacitása (a \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paraméter pontos jelentését lsd. 6. feladat ábráján):

\[C^*=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)}\]

Válasszuk a gömbök távolságát \setbox0\hbox{$b=2d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nek. Ebben az esetben a kapacitás:\

\[C^*=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2d+a} \right)}\]

Vegyük észre, hogy a gömbök 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak.

KFGY2-4-5.png

S ha így van, egy vékony fémlapot is elhelyezhetünk ebben a síkban anélkül, hogy az elektromos tér változást szenvedne. Az így kapott elrendezés ekvivalens két sorba kapcsolt síklap-gömb kondenzátorral, mely a jelen feladat kitűzésében szerepel. Gondolatkísérletünkkel tehát beláttuk, hogy a \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapacitású síklap-gömb kondenzátor, és a fent hivatkozott \setbox0\hbox{$C^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapacitású gömb-gömb kondenzátor kapacitásaira igaz az alábbi összefüggés:

\[\dfrac{1}{C^*}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}\]

Ebből kifejezve \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t:

\[C=2C^*=\dfrac{4\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2d+a} \right)}\]