Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája 
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Két azonos, $a$ keresztmetszeti sugarú, $l$ hosszúságú hengeres vezeték fekszik egymás mellett párhuzamosan, egymástól $b>>a$ távolságra. Mekkora a rendszer kapacitása? ($l>>b$) </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{Q=2\pi a l \omega}{\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
[[Kép:KFGY2-4-4uj.png|none|400px]]

Legyen $\omega$ felületi töltéssűrűség az egyik, $-\omega$ felületi töltéssűrűség a másik hengeren. 

Először próbáljuk meghatározni kizárólag az $\omega$ töltéssűrűségű hengerfelület által keltett elektromos teret. Ehhez vegyünk fel egy $a<r$ sugarú, $l$ hosszúságú hengerfelületet, melynek tengelye egybe esik a fémhenger tengelyével. A hengerfelület által bezárt töltés mennyisége könnyen kiszámítható, hiszen az $a$ sugarú fémhenger $l$ hosszúságú darabját zárja be. Tehát a bezárt töltés:

$$Q=2\pi a l \omega$$

A bezárt $Q$ töltés ismeretében felírhatjuk az $r$ sugarú hengerfelületre a Gauss-törvényt:

$$\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{2\pi a l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}$$

Az elrendezés hengerszimmetriája miatt az elektromos térerősség vektora mindenütt merőleges az $r$ sugarú hengerpalást felületére, és nagysága is mindenütt megegyező, ezért az integrál a következőképp egyszerűsödik:

$$\dfrac{2\pi a l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}=2\pi r l E$$

Kifejezve $E$-t, megkapjuk a térerősséget a kondenzátor tengelyétől mért távolság függvényében:

$$E_{(r)}=\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0}\dfrac{1}{r}$$

Az $\omega$ felületi töltéssűrűséggel rendelkező henger által keltett tér hatására $U_{AB1}$ potenciálkülönbség jön létre az 1. ábrán látható A és B pontok között. Fontos megjegyezni, hogy mivel mindkét henger felület külö-külön ekvipotenciális felület, emiatt ez a feszültség a hengerfelületek bármely két pontja közt ugyanakkora. Az $U_{AB1}$ meghatározható, ha az $\omega$ felületi töltéssűrűséggel rendelkező henger elektromos terét integráljuk $A$ és $B$ pontok között, ahol $A$ pont a tengelyekre merőlegesen illesztett vízszintes koordinátatengely $a$ koordinátájában (az origoban van a bal oldali henger tengelye), $B$ pont pedig a $b$ koordinátában helyezkedik el:

$$U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b}E_{(r)}dr=-\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0} \int_{a}^{b} \dfrac{1}{r} dr=\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)$$

A két hengerből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, $-\omega$ töltéssűrűségű henger által az $A$ és $B$ pontok között létrehozott $U_{AB2}$ potenciálkülönbség megegyezik az első henger által keltett $U_{AB1}$ potenciálkülönbséggel. ($U_{AB1}=U_{AB2}$) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két hengerfelület között mért potenciálkülönbség az egyes hengerek által keltett potenciálkülönbségek összege:

  $$U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)$$


A rendszer kapacitása:

$$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{Q=2\pi a l \omega}{\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}$$
</wlatex>
</noinclude>