Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Vezetőképesség, áramsűrűség 
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy $a$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:$$\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}$$ Számítsuk ki a kocka ellenállását <br> '''a)''' az alsó és felső; <br> '''b)''' a két átellenes, oldalsó lap között.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
a, A kontinuitási egyenlet miatt:
$$j(z)\cdot a^2 = const. \Rightarrow j(z) = j_0$$
A differenciális Ohm-törvényt felírva:
$$j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)$$
amiből:
$$E(z) = \frac{j_0}{\sigma(z)} = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0\left(2a-z\right)}$$
Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:
$$U = \int_0^a E(z)dz = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0} \cdot\ln\left(2\right)$$
Az áram pedig:
$$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = j_0\cdot a^2$$
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$
b, Ebben az esetben az áram a vezetőképesség $z$ irányú gradiensére merőlegesen folyik.
Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:
$$\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 $$
vagyis a kockában homogén, $z$-re merőleges elektromos tér jön létre.
Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:
$$U = E_0\cdot a$$
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a $z$ irányban:
$$j(z) = E_0 \cdot \sigma (z) =E_0  \sigma_0\cdot  \dfrac {\left(2a-z\right)}{a} $$

A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:

$$I = \int \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 \sigma_0\cdot  \dfrac{\left(2a-z\right)}{a}   \cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0$$
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
$$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$
</wlatex>
</noinclude>