Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Vezetőképesség, áramsűrűség 
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> '''b)''' az $L$ hosszúságú, $a$ és $b$ sugarú, fegyverzetekből álló, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $(L>>b)$ $R$ ellenállását! <br> A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
a, Mivel a kondenzátor lemezei közti feszültség --- és így a lemezeken jelen lévő töltés nagysága is --- időben állandó, a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. A Gauss tétel egy $r$ sugarú koncentrikus gömbre:
$$E\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$$
$$E = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}$$
amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:
$$\vec{j} = \sigma\cdot \vec{E}$$
$$j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}$$
amely áramsűrűséget az $r$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
$$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
$$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ 

b, Henger esetén:
$$E\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}$$
$$E = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}$$
amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
$$\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}$$
$$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$
amely áramsűrűséget az $r$ sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
$$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása:
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$ 
</wlatex>
</noinclude>