Erőtan II. - 6.7 forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Mechanika - Erőtan II.]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Erőtan II.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a $k_1$ és $k_2$ direkciós erejű rugókra erősített $m$ tömegű test rezgési frekvenciáit! [[Kép:Kfgy1_6_7.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a test mozgásegyenletét mindkét esetben, és határozzunk meg effektív rugólállandókat!}}{{Végeredmény|content=$$\omega=2\pi f=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m},$$ ahol $$k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,$$ illetve $$\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>Az állandó nehézségi erőtér csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el, a rezgés frekvenciáját nem befolyásolja, ezért ezt a mozgásegyenletekből elhagyhatjuk. A feladat lényege a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rugók $k_{\rm{eff}}$ eredő rugóállandójának meghatározása. Párhuzamos esetben a mozgásegyenlet $$m\ddot x=-k_1m-k_2m=-(k_1+k_2)m,$$ ebből az eredő rugóállandó $$k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,$$ azaz több párhuzamosan kapcsolt rugó esetén a rugóállandók összeadódnak. A rezgés körfrekvenciája $$\omega=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m}$$ Soros esetben a két rugót feszítő $F$ erő azonos, hisz a kettejük érintezésénél lévő erőpárnak azonos nagyságúnak kell lennie (Newton III. axióma!). Ez az $F$ erő hat az $m$ tömegre is, így a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F=k_1x_1=k_2x_2=k_{\rm{eff}}x,$$ ahol $x_1$ és $x_2$ a két rugó megnyúlása, $x=x_1+x_2$ pedig a test elmozdulása, egyben a rugólánc teljes megnyúlása. Az egyenlet utolsó kifejezése maga az eredő rugóállandó definíciója is egyben. Továbbírva az egyenletet $$F=k_{\rm{eff}}(x_1+x_2)=k_{\rm{eff}}(\frac F{k_1}+\frac F{k_2}),$$ melyet $F$-el egyszerűsítve és rendezve kapjuk $$\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2},$$ általános esetben pedig reciprok összegzési szabályt kaphatunk a sorba kapcsolt rugókra.</wlatex>
</noinclude>