Integrálás - Területszámítás forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
[[Kategória:Mechanika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Integrálás
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg az $ f_1 (x) = \cos x $ és az $ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$ függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T=2sin(1) - \frac{\pi}2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A keresett területet a $$T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x)) dx \right| $$ képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így $T=T_1-T_2$. Másrészt az $f_2$ görbe egy egység sugarú félkör, tehát $T_2=\pi/2$-t kell kapjunk.

Az 1. függvény primitívfüggvénye $F_1(x)=\sin x+c$, így $T_1=\sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1)$. $F_2(x)$ meghatározásához végezzük el az $x=\cos y$ helyettesítést: $$f_2 (y) = \sqrt{1- \cos^2 y} = |\sin y |,$$ de ha a párosság miatt csak a $0\le x \le 1$ intervallumon integrálunk, akkor $f_2 (y)=\sin y$, továbbá $$\frac {dx}{dy} = -\sin y,$$ $$dx= -\sin y dy ,$$ az új határok $x = 0$-nál $y =\frac { \pi}{2}$ és $x = 1 $-nél $y = 0$, ezzel $$\int\limits_ { x = 0} ^{ x = 1 } f_2 (x) dx = -\int\limits_ {y = \frac{ \pi}{2} } ^{ y = 0} \sin^2 y dy = \int\limits_ { \frac{ \pi}{2}} ^0 \left(\frac{\cos 2 y - 1}{2} \right) dy = \left[ \frac{\sin2y}{4} - \frac{y}{2} \right] _{ \frac{ \pi}{2}} ^0=0 + \frac { \pi }{4},$$ ami a teljes intervallumon valóban $\pi/2$. Végül a keresett terület $$T=2sin(1)-\frac{\pi}{2}$$</wlatex>
</noinclude>