Integrálás - Területszámítás

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg az \setbox0\hbox{$ f_1 (x) = \cos x $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és az \setbox0\hbox{$ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!

Megoldás

A keresett területet a
\[T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x)) dx \right| \]
képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így \setbox0\hbox{$T=T_1-T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Másrészt az \setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% görbe egy egység sugarú félkör, tehát \setbox0\hbox{$T_2=\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t kell kapjunk. Az 1. függvény primitívfüggvénye \setbox0\hbox{$F_1(x)=\sin x+c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így \setbox0\hbox{$T_1=\sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. \setbox0\hbox{$F_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% meghatározásához végezzük el az \setbox0\hbox{$x=\cos y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyettesítést:
\[f_2 (y) = \sqrt{1- \cos^2 y} = |\sin y |,\]
de ha a párosság miatt csak a \setbox0\hbox{$0\le x \le 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intervallumon integrálunk, akkor \setbox0\hbox{$f_2 (y)=\sin y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, továbbá
\[\frac {dx}{dy} = -\sin y,\]
\[dx= -\sin y dy ,\]
az új határok \setbox0\hbox{$x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nál \setbox0\hbox{$y =\frac { \pi}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$x = 1 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél \setbox0\hbox{$y = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezzel
\[\int\limits_ { x = 0} ^{ x = 1 } f_2 (x) dx = -\int\limits_ {y = \frac{ \pi}{2} } ^{ y = 0} \sin^2 y dy = \int\limits_ { \frac{ \pi}{2}} ^0 \left(\frac{\cos 2 y - 1}{2} \right) dy = \left[ \frac{\sin2y}{4} - \frac{y}{2} \right] _{ \frac{ \pi}{2}} ^0=0 + \frac { \pi }{4},\]
ami a teljes intervallumon valóban \setbox0\hbox{$\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Végül a keresett terület
\[T=2sin(1)-\frac{\pi}{2}\]