Integrálás - Tömegközéppont számítás

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú rúd az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyen fekszik, lineáris sűrűsége \setbox0\hbox{$\lambda(x)=\lambda_{0}+\lambda_{1}x^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és az origóban van a kisebb sűrűségű vége. (\setbox0\hbox{$\lambda_1>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Hol van a rúd tömegközéppontja?

Megoldás

Mivel a lineráis sűrűség
\[\lambda(x)=\frac{dm}{dx},\]
így a számításhoz szükséges tömegelemek
\[dm=\lambda(x)dx\]
szerint írhatók fel. Először meg kell határozzuk a rúd össztömegét:
\[m=\int dm\]
szimbolikus integrált konkrétan valamelyik koordináta szerint kell felírni. Esetünkben ez egyszerűen az origótól mért \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság, így az integrálás határai is egyszerűen megadhatók:
\[m=\int_{0}^{d}\lambda(x)dx=\lambda_{0}d+\frac{\lambda_{1}d^{3}}{3}\]
Felhasználva a tömegközéppont definícióját:
\[mx_{\rm{TKP}}=\int x dm=\int_{0}^{d}x\lambda(x)dx=\int_{0}^{d}\left(\lambda_{0}x+\lambda_{1}x^{3}\right)dx=\frac{\lambda_{0}d^{2}}{2}+\frac{\lambda_{1}d^{4}}{4}\]
Végül
\[x_{\rm{TKP}}=\frac{\frac{\lambda_{0}d^{2}}{2}+\frac{\lambda_{1}d^{4}}{4}}{\lambda_{0}d+\frac{\lambda_{1}d^{3}}{3}}=\frac{\frac{\lambda_{0}d}{2}+\frac{\lambda_{1}d^{3}}{4}}{\lambda_{0}+\frac{\lambda_{1}d^{2}}{3}}\]