Deriválás

Feladatok

1. Adottak az alábbi vektorok.

   $\[\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]\qquad\qquad\mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\]$

   a) Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektort!

   b) Mekkora a vektorok normája (nagysága)?

   c) Mekkora szöget zár be a két vektor?

   d) Adjuk meg a $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektor $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányába eső komponensét!

   Megoldás

   
   

2. Egy $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőn nyugszik egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test.

   a) Határozzuk a gravitációs erő lejtőre merőleges és lejtővel párhuzamos komponenseinek nagyságát!

   b) Adjuk meg a nyomóerő függőleges és vízszintes komponenseinek nagyságát!

   Megoldás

   
   

3. Határozzuk meg az alábbi függvények első deriváltját! Az f) feladatrészben a második deriváltat is számoljuk ki!

   a) $\setbox0\hbox{$f(x)=x^{2}+3x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   b) $\setbox0\hbox{$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   c) $\setbox0\hbox{$A(\omega)=\frac{\omega}{1+(\tau\omega)^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   d) $\setbox0\hbox{$h(x)=\sin\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   e) $\setbox0\hbox{$g(x)=\ln\left(e^{\sin x}+x\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   f) $\setbox0\hbox{$y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Megoldás

   
   

4. * Tegyük fel, hogy ismerjük egy $\setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény deriváltját. Ekkor az $\setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény $\setbox0\hbox{$\phi(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ inverzének deriváltja
   $\[\frac{d\phi}{dx}=\frac{1}{f'(\phi(x))}\,.\]$
   Ennek segítségével számítsuk ki az alábbi függvények deriváltját.

   a) $\setbox0\hbox{$\mbox{ln}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   b) $\setbox0\hbox{$\mbox{arcsin}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   c) $\setbox0\hbox{$\mbox{arccos}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   d) $\setbox0\hbox{$\mbox{arctg}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   e) $\setbox0\hbox{$\mbox{arcctg}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   f) $\setbox0\hbox{$\mbox{arcsin}\left(e^{x}+x^{2}\sin x\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   g) $\setbox0\hbox{$\mbox{arctg}\,\left[2\ln x+\sin(\cos x)\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Megoldás

   
   

5. * A hiperbolikus függvényeket a következőképpen definiáljuk.
   $\[\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]$
   $\[ \mbox{th}\,x=\frac{\mbox{sh}\, x}{\mbox{ch}\, x}\qquad\qquad \mbox{cth}\,x=\frac{\mbox{ch}\,x}{\mbox{sh}\,x}\]$

   a) Igazoljuk, hogy $\setbox0\hbox{$\mbox{ch}^{2}\,x-\mbox{sh}^{2}\,x=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

   b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait!

   c) Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény inverzét és annak deriváltját.

   Megoldás

   
   

6. Tekintsük az alábbi, valós számokon értelmezett függvényt:

   $\[f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 36 x + 12\]$

   Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?

   Megoldás

   
   

7. Tekintsük az alábbi, valós számokról a 3 dimenziós vektorok terébe képező függvényt!

   $\[ \vec{v}(s) = \left( \begin{array}{c} \sin s \\ 2 \cos s \\ 3 s \end{array} \right) \]$

   a) Határozzuk meg ennek a $\setbox0\hbox{$\vec{v}'(s) = \frac{d \vec{v}}{d s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ deriváltját!

   b) Mekkora szöget zárnak be az $\setbox0\hbox{$s = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen a $\setbox0\hbox{$\vec{v}(s)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{v}'(s)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektorok?

   Megoldás