Deriválás - Egyváltozós vektorfüggvény

Feladat

1. Tekintsük az alábbi, valós számokról a 3 dimenziós vektorok terébe képező függvényt!

   $\[ \vec{v}(s) = \left( \begin{array}{c} \sin s \\ 2 \cos s \\ 3 s \end{array} \right) \]$

   a) Határozzuk meg ennek a $\setbox0\hbox{$\vec{v}'(s) = \frac{d \vec{v}}{d s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ deriváltját!

   b) Mekkora szöget zárnak be az $\setbox0\hbox{$s = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen a $\setbox0\hbox{$\vec{v}(s)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{v}'(s)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektorok?

Megoldás

1. a) Vektorokat komponensenként deriválhatunk, így:

   $\[ \vec{v}'(s) = \left( \begin{array}{c} \cos s \\ - 2 \sin s \\ 3 \end{array} \right) \]$

   b) A vektorok által bezárt szög koszinusza:

   $\[ \cos(\varphi) = \frac{\vec{v}(s) \cdot \vec{v}'(s)}{| \vec{v}(s)| \, |\vec{v}'(s)|}\]$

   Behelyettesítve az $\setbox0\hbox{$s = 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéket:

   $\[ \vec{v}(s) = \left( \begin{array}{c} 0.841 \\ 1.081 \\ 3.0 \end{array} \right) \; , \quad \vec{v}'(s) = \left( \begin{array}{c} 0.540 \\ -1.683 \\ 3.0 \end{array} \right) \]$

   $\[ \cos(\varphi) = \frac{0.841 \cdot 0.540 - 1.081 \cdot 1.683 + 3.0 \cdot 3.0}{\sqrt{0.841^2 + 1.081^2 + 3.0^2} \, \sqrt{0.540^2 + 1.683^2 + 3.0^2}} = 0.665 \]$

   Ebből $\setbox0\hbox{$ \varphi = 0.843$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$