Mechanika - Munka, energia

Feladatok

1. (2.2.1) Egy gépkocsi tömege $\setbox0\hbox{$m=800\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Indulás után $\setbox0\hbox{$\Delta t=6\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideig gyorsít $\setbox0\hbox{$a=2,5\,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással. Mekkora az átlagteljesítmény a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt? Írjuk fel a pillanatnyi teljesítményt, mint az idő függvényét! Számítsuk ki a teljesítmény legnagyobb értékét! (A súrlódástól eltekintünk.)
   Útmutatás

   Számold ki a sebességet a gyorsítás végén!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$P=15000\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$P_{max}=30000\,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
2. (2.2.3) Az $\setbox0\hbox{$M=800\,\mathrm{t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű vasúti szerelvény $\setbox0\hbox{$v=20\,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad, amikor leveszik a gőzt. A gördülési súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu_{g}=0,05$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora munkát végez az ellenállási erő a teljes megállásig, és hogyan változik a teljesítménye az időben? Mekkora úton és mennyi idő eltelte után áll meg a szerelvény?
   Útmutatás

   A kezdeti mozgási energiáját teljes mértékben elveszíti a szerelvény.
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$W=-1,6\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$P(t)=Ma(v-at)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$T_{stop}=40 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$s=400\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
3. (2.2.7) Egy rugót $\setbox0\hbox{$W=0,002 \,\mathrm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munka árán tudunk $\setbox0\hbox{$\Delta l=8\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel megnyújtani. Mekkorának adódik a rezgésidő, ha egy $\setbox0\hbox{$m=50\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet a végéhez erősítünk?
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$T=1,78\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
4. (*2.2.9) Egy $\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os hajlásszögű lejtőre húzunk fel egy $\setbox0\hbox{$m=5\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet, a lejtő hosszával párhuzamos erővel, állandó $\setbox0\hbox{$P=150 \,\mathrm{W}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljesítménnyel. A mozgás végig egyenletes. Milyen magasra jut fel a test $\setbox0\hbox{$\Delta t=5\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt? Mekkora a hatásfok? A lejtő és a test közötti súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Útmutatás

   Egyenletes mozgásnál használható $\setbox0\hbox{$P=Fv$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$\eta=0,74$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
5. (2.2.12) Egy $\setbox0\hbox{$m=75\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű szánkó két szembenálló $\setbox0\hbox{$\alpha=30$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$°-os hajlásszögű lejtős pályán mozog. Az egyik lejtőn elindul lefelé, $\setbox0\hbox{$s=200\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ út megtétele után leért a lejtő aljára, de a kapott energia tovább viszi a másik lejtőn felfelé. Milyen hosszú utat tesz meg felfelé, ha a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu=0,03$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$s'=180,2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
6. (*2.2.13) Egy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú lejtőt egy fém és egy falécből állítunk össze. A pálya felső részéről rövid fémhasábot eresztünk el. A fém és a fa rész hosszának milyen arányánál érjük el, hogy a hasáb a pálya végén megálljon? Mennyi időre van szükség a teljes út megtételére, ha a fémhasáb és a fém súrlódási együtthatója $\setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a fémhasábé és a fáé $\setbox0\hbox{$\mu'=0,6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h=5\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$l=13\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$l_{fem}/l_{fa}=0,846\qquad T=7,26\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
7. (*2.2.14) Egy $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet rugalmas fonal B végére erősítünk. A fonal $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vége rögzített, nyújtatlan állapotban $\setbox0\hbox{$l_{0}=24\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, és akkor tart $\setbox0\hbox{$Mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel egyensúlyt, ha megnyúlása $\setbox0\hbox{$\Delta l_{0}=2 \,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A test kezdetben az A pontban áll, azután elengedjük, úgyhogy szabadon esik mindaddig, amíg a fonal engedi, azután a fonal elkezd nyúlni, eközben fékezi a test esését, végül meg is állítja. Tegyük fel, hogy a fonal megnyúlásával arányos erőt fejt ki a végére kötött testre. Mekkora lesz a fonal maximális megnyúlása?
   Útmutatás

   A leesés során a helyzeti energia teljes egészében rugalmas energiává alakul.
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$\Delta l=12\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
8. (2.3.2) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test kezdősebesség nélkül igen nagy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságból esik a Földre. Mekkora a kinetikus energiája a Föld felszínére való becsapódás pillanatában? Mekkora a végsebessége, ha végtelen távolból kezdősebesség nélkül esik a Földre? A légellenállást hanyagoljuk el!
   Végeredmény

   $\[E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right) \qquad\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}\]$
   Megoldás
   
   
9. (*2.3.6 alapján)

   a.) Első kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel a Föld felszínén vízszintesen el kell lőni egy testet, hogy körpályán megkerülje a Földet, feltéve hogy nincs légellenállás. Mekkora az első kozmikus sebesség a Földön?

   b.) Második kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel elindítva egy testet a Föld felszínéről, el tud szabadulni a Földtől. Mekkora a második kozmikus sebesség?

   (Adatok: $\setbox0\hbox{$R_{F} = 6370 km$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$g_{0} = 9.81 m/s^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

   Útmutatás

   Az első feladatban írjuk fel a körpályán való mozgásra a Newton egyenletet. A második feladatban számítsuk ki, mekkora munkát végez a gravitációs erő amíg a test eljut a végtelen messzi pontba. Ezután munkatétel.

   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$v_1 = 7.9 km/s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$v_2 = 11.2 km/s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Megoldás

   
   

10. (*2.3.11) Milyen nagyságú gravitációs vonzóerőt fejt ki egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, kis $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű homogén rúd a tengelyének irányában, a végpontjától $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű tömegpontra?
    
    Útmutatás

    Osszuk fel a rudat kis $\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakaszokra, majd ezek hatását összegezzük!
    Végeredmény

    $\[F_{g}=\frac{\gamma m\rho q l}{d(d+l)}\]$
    Megoldás
    
    
11. (*2.4.6) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú matematikai ingát vízszintes helyzetéből elengedünk. Függőleges helyzetében a kötél egy csapocskán megakad, így az inga az ábrán látható módon lendül tovább.

    a) Mi a dinamikai feltétele annak, hogy az inga további mozgása során le tudjon írni egy teljes kört?

    b) Hova kell ehhez helyezni a csapocskát?

    c) Hogyan alakul a test pályája ellenkező esetben? (szöveges válasz)

    d) Hova kell helyezni a csapocskát, hogy a c) esetben ismét az indítás magasságába jusson fel?

    

    Útmutatás

    A test körpályán mozog, ha nincs ferde hajítás a mozgása során. A d) részben egyszerű energetikai megfontolások elegendőek.

    Végeredmény

    a)

    $\[0<\frac{v_{1}^{2}}{L-x}-g\]$

    b)

    $\[x>\frac{3L}{5}\]$

    c) Ferde hajítás szerinti mozgást is fog végezni a pályája felső szakaszán.
    d) $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

    Megoldás

    
    

12. Egy síkon mozgó tömegpontra az alábbi általánosított rugalmas erő hat:
    $\[F_x(x,y) = - A \, x - B \, y \qquad F_y(x,y) = - B \, x - C \, y \; ,\]$
    ahol az általánosított rugalmas állandók: $\setbox0\hbox{$A = 5 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$B = 3 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$C = 10 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A tömegpont az origóból indulva, az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel $\setbox0\hbox{$\alpha = 30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget bezáró egyenes pályán mozog.

    a.) Adjuk meg a rugalmas erő $\setbox0\hbox{$dW$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elemi munkáját, amíg a test távolsága az origótól $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$r + dr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re változik.

    b.) Ez alapján számítsuk ki, mennyi munkát végez a rugalmas erő, amíg a tömegpont az origótól $\setbox0\hbox{$R = 2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra jut!

    c.) (Bónusz kérdés): Hogyan tudunk ilyen "általánosított" rugóerőt létrehozni?

    Végeredmény

    a.)

    $\[ dW = - A \cos^2(\alpha) \, r dr - B \sin(\alpha) \cos(\alpha) \, r dr - B \cos(\alpha) \sin(\alpha) \, r dr - C \sin^2(\alpha) \, r dr\]$

    b.)

    $\[ W = - (A \cos^2(\alpha) + 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) + C \sin^2(\alpha)) \frac{R^2}{2}\]$

    Megoldás

    
    

13. Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű kicsiny test egy függőleges szimmetriatengelyű parabola alakú pályán mozoghat, melynek pályaegyenlete $\setbox0\hbox{$y(x) = A x ^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A testre hat a nehézségi erő, a pálya súrlódásmentes. A test nulla kezdősebességgel indul a pálya $\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontjából.

    a.) Adjuk meg a gravitációs erő elemi $\setbox0\hbox{$dW$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munkáját, amikor a test az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontból az $\setbox0\hbox{$x + dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontba jut.

    b.) Adjuk meg a gravitációs erő teljes munkáját, amíg a test eljut az $\setbox0\hbox{$x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba!

    c.) Munkatétel alapján adjuk meg a test sebességét az $\setbox0\hbox{$x = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban!

    Végeredmény

    a.)

    $\[dW = - 2 A m g x \, dx\]$

    b.)

    $\[W = m g A x_0^2\]$

    c.)

    $\[|v_v| = \sqrt{2 g A x_0^2}\]$

    Megoldás