Munka, energia - Munka számítás 1

Feladat

1. Egy síkon mozgó tömegpontra az alábbi általánosított rugalmas erő hat:
   $\[F_x(x,y) = - A \, x - B \, y \qquad F_y(x,y) = - B \, x - C \, y \; ,\]$
   ahol az általánosított rugalmas állandók: $\setbox0\hbox{$A = 5 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$B = 3 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$C = 10 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A tömegpont az origóból indulva, az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel $\setbox0\hbox{$\alpha = 30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget bezáró egyenes pályán mozog.

   a.) Adjuk meg a rugalmas erő $\setbox0\hbox{$dW$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elemi munkáját, amíg a test távolsága az origótól $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$r + dr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re változik.

   b.) Ez alapján számítsuk ki, mennyi munkát végez a rugalmas erő, amíg a tömegpont az origótól $\setbox0\hbox{$R = 2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra jut!

   c.) (Bónusz kérdés): Hogyan tudunk ilyen "általánosított" rugóerőt létrehozni?

Megoldás

1. a.) Amikor a tömegpont $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra van, akkor a helyvektorának koordinátái $\setbox0\hbox{$x = r \cos (\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$y = r \sin (\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kicsiny elmozdulásvektor koordinátái pedig $\setbox0\hbox{$dx = dr \cos(\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$dy = dr \sin(\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   A rugalmas erő komponensei pedig

   $\[F_x = - A \,r \cos(\alpha) - B \, r \sin(\alpha) \qquad F_y = - B \, r \cos(\alpha) - C \, r \sin(\alpha) \; .\]$

   Az elemi munka az erővektor és a kicsiny elmozdulásvektor skaláris szorzata:

   $\[dW = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F_x \, dx + F_y \, dy = - A \cos^2(\alpha) \, r dr - B \sin(\alpha) \cos(\alpha) \, r dr - B \cos(\alpha) \sin(\alpha) \, r dr - C \sin^2(\alpha) \, r dr \, .\]$

   b.) A teljes munkavégzés:

   $\[ W = \int dW = \int_0^R (-A \cos^2(\alpha) - 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) - C \sin^2(\alpha)) \, r \, dr = - (A \cos^2(\alpha) + 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) + C \sin^2(\alpha)) \frac{R^2}{2}\]$

   c.) Vegyük észre, hogy az erő és az elmozdulás vektorok között lineáris az összefüggés:

   $\[\vec{F} = - \left( \begin{array}{cc} A & B \\ B & C \end{array} \right) \vec{r} \, .\]$

   A rugóállandó egy szimmetrikus mátrix, melynek sajátvektorai egymásra merőlegesek. A sajátértékek adják meg az adott sajátvektorhoz tartozó rugóállandót, ezek általában nem lesznek egyformák. Tehát különböző rugóállandójú, egymásra merőleges, de nem $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú rugókkal elérhető ez az általánosított eset.