Munka, energia - 2.2.13
A Fizipedia wikiből
Feladat
- (*2.2.13) Egy
magasságú 
hosszúságú lejtőt egy fém és egy falécből állítunk össze. A pálya felső részéről rövid fémhasábot eresztünk el. A fém és a fa rész hosszának milyen arányánál érjük el, hogy a hasáb a pálya végén megálljon? Mennyi időre van szükség a teljes út megtételére, ha a fémhasáb és a fém súrlódási együtthatója 
, a fémhasábé és a fáé 
, 
, 
?
Megoldás
- A mozgás során a kezdeti helyzeti energia teljes mértékben disszipálódik. Ha a lejtő felső, fémből készült szakaszának hosszát
-vel jelöljük, akkor az energia mérleg szerint írható fel. A lejtő hajlás szögét a![\[mgh=mg\cos\alpha\mu d+ mg\cos\alpha\mu'(l-d)\]](/images/math/1/8/8/188401c9e5844245145e57aab3d2bb92.png)
összefüggésből határozhatjuk meg. Az energia mérlegből kifejezve így a fémből és fából készült lejtő darabok hosszúságának aránya![\[d=\frac{1}{\mu-\mu'}\left(\frac{h}{\cos\alpha}-\mu'l\right)\,,\]](/images/math/b/0/d/b0db7067d7bcb5810629949dfdc15b06.png)
![\[\frac{d}{l-d}=\frac{h-\mu' l\cos\alpha}{\mu l\cos\alpha-h}=\frac{h-\mu' l\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}}{\mu l \sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}-h}=\frac{1-\mu' \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}}{\mu \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}-1}=0,846\]](/images/math/a/1/0/a10f5e9109ea3dda47d6e143b11ab926.png)
A felső szakaszon a gyorsulás nagysága és a mozgás időtartamaAz alsó szakaszon hasonlóan![\[a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\qquad\qquad t=\sqrt{\frac{2d}{a}}\,.\]](/images/math/1/d/6/1d6bba3214f7a8d2cbe4f40d7656eff2.png)
A mozgás teljes időtartama![\[a'=g(\mu'\cos\alpha-\sin\alpha)\qquad\qquad t'=\sqrt{\frac{2(l-d)}{a'}}\,.\]](/images/math/3/c/8/3c819e000ebb9b550cd54257a4e35cbe.png)
![\[T=t+t'=\sqrt{\frac{2l(\mu'-\mu)\cos\alpha}{g\left(\frac{h}{l}-\mu\cos\alpha \right)\left(\mu'\cos\alpha-\frac{h}{l}\right)}}=7,26\,\mathrm{s}\]](/images/math/5/8/5/585ad03fc23e464fd31d6489ff940472.png)
- A mozgás során a kezdeti helyzeti energia teljes mértékben disszipálódik. Ha a lejtő felső, fémből készült szakaszának hosszát
